$ \tan 1^\circ \cdot \tan 2^\circ \cdot \tan 3^\circ \cdots \tan 89^\circ$

Question

¿Cómo puedo encontrar el producto usando trigonometría elemental?

$$ \tan 1^\circ \cdot \tan 2^\circ \cdot \tan 3^\circ \cdots \tan 89^\circ.$$

He probado usando una sustitución, pero nada ha funcionado.

Answer 1

Indirecta: $$ \tan x\cdot\tan(90^\circ-x) = 1. $$

Answer 2

Nota:

Answer 3

En primer lugar, vamos a volver a organizar estos términos para que nosotros podamos hacer uso de los consejos en otras respuestas.

$$\tan(1^\circ) \cdot \tan(89^\circ) \cdot \tan(2^\circ) \cdot \tan(88^\circ) \cdot\cdot\cdot \tan(44^\circ) \cdot \tan(46^\circ) \cdot \tan(45^\circ)$$

Aquí, podemos ver un claro patrón de $$\tan(x) \cdot\tan(90^\circ-x)$ $ repetir, excepto 45, que no tiene pareja de baile.

Ahora, podemos utilizar el hecho de $$\tan(x) \cdot \tan(90^\circ - x) = 1$ $ y reducir todos los pares de números a 1. Nos estamos quedado con %#% $ #%

y desde %#% $ #%

obtenemos una respuesta de $$ 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cdot \cdot \tan(45^\circ)$ $