Ideales y anillos cociente.

Question

Deje $R=\{a+bi \space | \space a,b\in \mathbb{Z} \} $

Deja que yo sea el ideal $\langle 3+5i \rangle $

En el anillo cociente $ R/I $

(a) Sin encontrar divisores de cero a explicar por qué $R/I$ no puede ser una parte integral de dominio.

(b) Explique por qué la $I$ no es primo.

En la primera parte de la pregunta me pareció que el orden de las $(1+I)$$34$. Tenía la esperanza de que esto me ayudaría a responder a estas dos preguntas, pero no puedo averiguar. Puedo saber que son equivalentes declaraciones como $I$ es el primer fib $R/I$ es una parte integral de dominio. mi problema es que me parece que no puede averiguar cómo escribir lo que un elemento en el cociente del anillo parece. Si yo pudiera mostrar hubo un elemento de un orden diferente al $34$ me gustaría hacer.

Edit: creo que podemos usar el hecho de que $(17+I)+(17+I) = (34+I)$ no implica que el orden de las $(17+I) =2$ ? Pero por el teorema de la única manera posible de orden ya estaba demostrado ser 34 por lo que R/I no es un FID?

Answer 1

También tenga en cuenta que cualquier elemento $x \in R/I$, $34\cdot x=0$. Si $R/I$ es un dominio integral, entonces su característica debería haber sido un número primo, mientras que $34$ no es primer.

Answer 2

Otra forma:

$\mathbb Z[i]$ tiene dimensión de Krull $1$. Por lo tanto, un cociente por un distinto a cero ideal principal de $\mathbb Z[i]$ los dejo con un dominio de dimensión de Krull $0$, que es un campo. Pero claramente $2$ no tiene ningún inverso en este anillo, por lo que no puede ser un campo.