dos variables al azar y expectativa condicional

Question

Considerar dos variables aleatorias $X$ y $Y$. Que $Z_1,Z_2$ dos variables al azar, medibles con respecto a lo $\sigma$-campo generados por $X,Y$ tal que $$\mathbb E (X\mid Z_1)=E (X\mid Z_2)$de % $ $$\mathbb E (Y\mid Z_1)=E (Y\mid Z_2)$ $

¿Qué puedo decir de $Z_1$ y $Z_2$? ¿Que generan el mismo $\sigma$-álgebra? ¿Existe una función uno a uno $f$ tal que $Z_1=f(Z_2)$? ¡Gracias!

Answer 1

No. Deje $X$ $Y$ ser iid $U(-1,1)$ rvs. Deje $Z_1$ ser el indicador de rv del evento $[|X|+|Y|<1]$ y deje $Z_2$ ser el indicador de que el evento $[X^2+Y^2<1]$. Claramente $E(X\mid Z_i) = E(Y\mid Z_i) = 0$$i=1,2$, pero $Z_1$ $Z_2$ generar diferentes $\sigma$-álgebras, y $Z_1$ no es una función de $Z_2$, etc.

Otro ejemplo de este tipo: $X$ $Y$ como en el anterior, $Z_1=|X+Y|$$Z_2=|X-Y|$. Identificar el espacio muestral $\Omega$$[-1,1]^2$, todos los eventos en $\sigma(Z_1)$ son de centro-simétrica subconjuntos de a $[-1,1]^2$ y por lo tanto tienen centros de masa (barycenters) igual a $(0,0)$, y del mismo modo para $\sigma(Z_2)$. Este rendimientos $E(X\mid Z_1)=0$, y así sucesivamente, como antes.