Einstein describió su descubrimiento del principio de equivalencia como el "pensamiento más feliz de mi vida". ¿Por qué? ¿Lo que, en términos conceptuales generales, es la cadena lógica de razonamiento que nos lleva desde el principio de equivalencia a la relatividad general?
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En la relatividad especial, unaccelerated los observadores no pueden hacer cualquier experimento para determinar su estado de movimiento en cualquier sentido absoluto-todos significativo movimiento es relativo a algo más.
- Queremos generalizar el principio de la relatividad, que las leyes de la física son independientes de la inercia del movimiento, como la medida de lo posible.
Matemáticamente, esto sugiere el uso de tensores, para hacer ecuaciones covariante con casi arbitraria transformaciones de coordenadas. Pero vamos a empezar con el experimento de Eötvös:
- Si bajo la influencia de sólo la gravedad, cada una de las pruebas de la partícula se comporta de manera idéntica, independientemente de su masa o composición.
Esto es sugestivo de la toma de la gravedad de una propiedad del espacio-tiempo, en lugar de una interacción en el espacio-tiempo. Pero aún más importante es que:
- Los objetos en caída libre no siente su propio peso.
En la mecánica Newtoniana, si usted tiene prueba de dos masas de cerca uno de otro en un potencial gravitatoria $\Phi$, se acelerará en la misma forma, a la primera orden. Van a estar en reposo uno respecto del otro. Por supuesto, todavía están en posiciones diferentes, así que la experiencia diferente fuerza de la gravedad, pero este se muestra como la fuerza de las mareas proporcional a $\partial^2\Phi/\partial x^i\partial x^j$, una de segundo orden efecto. Intuitivamente, la gravedad "no existe" para infinitesimal separaciones $dx$ (y a veces $dt$): usted tiene que mirar en mayor escala, en el espacio o el tiempo, o ambos, para detectar su presencia.
En otras palabras, más de lo suficientemente pequeñas regiones del espacio y del tiempo, es decir, los experimentos de corta duración), la física es como si estás en un marco inercial. Pero desde la teoría especial de la relatividad, no la relatividad Galileana de la mecánica Newtoniana es derecho,
- El espacio-tiempo es localmente Minkowski, el plano espacio-tiempo de STR.
Geométricamente, las cosas caen en su lugar: en matemáticas, un colector es una estructura que localmente "se parece a" plana espacio Euclidiano. Por lo tanto el criterio--efectos gravitacionales independiente de la masa o de la composición y de la física que se comportan como la de la relatividad especial sobre las pequeñas suficiente regiones se puede hacer simplemente por tener el espacio-tiempo ser un colector local de Minkowski.
Geodésica desviación es también una de segundo orden efecto: ese es el significado geométrico de la curvatura de Riemann tensor, el cual es determinado solamente por el segundo derivados de la métrica. (Pero Einstein no creo que de curvatura como el campo gravitacional; más sobre esto más adelante.)
... mi pequeña caja es empujada por un acantilado y está en caída libre. Presumiblemente mi cuadro se ha convertido en un localmente inercial de referencia marco, el espacio-tiempo es ahora plana y por lo tanto se describe por la métrica de Minkowski.
Esa es la derecha, a la primera orden. A ver lo que está pasando más precisamente, puede ayudar a crear de forma explícita las coordenadas de este. Dicen que usted tiene un local marco de una timelike dirección y tres spacelike las direcciones $\{\hat{e}_\alpha\}$, ortonormales (que en realidad no es necesario, pero es más intuitivo si usted comienza con un Cartesiano-como la situación), es decir, cuatro vectores que abarca el espacio de la tangente a su ubicación en el espacio-tiempo.
Elegir cualquier dirección en el espacio-tiempo... cualquier vector puede ser escrito en términos de los componentes del marco de los vectores. Considere la posibilidad de la geodésica en esa dirección; no se tiene algún parámetro afín a lo largo de ella (es decir, la adecuada longitud/tiempo a lo largo de ella si no era una lightlike dirección). Usted puede, por tanto, la etiqueta de cada punto en que geodésica con coordenadas de ese afín parámetro y el vector de componentes de la dirección que has elegido.
Hemos construido Riemann normal coordenadas correspondientes a su local de la trama. La métrica evaluados en su ubicación (!!) es sólo Minkowski $\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1,+1,+1,+1)$, como corresponde a los productos de puntos de la trama de los vectores. Y puesto que las coordenadas se define en términos de geodesics y geodésico de la desviación es de segundo orden, la métrica en un barrio de su ubicación es Minkowski a la primera orden.
Todavía estoy en el planeta Tierra, pero el tiempo ha cambiado.
No, básicamente, hemos decidido vista de la métrica en las coordenadas $x^\mu$ de manera tal que en un evento en particular $p$, $g_{\alpha\beta}|_p = \eta_{\alpha\beta}$ y $\partial g_{\alpha\beta}/\partial x^\gamma = 0$. La métrica de Minkowski en $p$ y sus derivados se desvanecen.
Esto no quiere decir que sea exactamente de Minkowski en una región alrededor de $p$--habrá una diferencia en segundo orden. No se puede hacer la segunda derivados de desaparecer en general, debido a que no hay suficientes grados de libertad en un suave transformación de coordenadas. Pero desde la segunda derivadas de orden, son lo que determina la curvatura de = desviación geodésica = gravitacional fuerzas de marea, no queremos que estos desaparezcan.
Einstein llegó a la conclusión de que la gravedad está dada por la geometría del espacio-tiempo y la caída libre de los objetos son localmente inercial. Pero desde una perspectiva moderna, podemos utilizar la segunda para motivar a los GTR así:
- Si los objetos en caída libre no tienen adecuada de aceleración (acelerómetro mide), podrían ser en realidad ser inercial?
En un colector, el geodesics son curvas que tienen la siguiente propiedad: el transporte de un vector tangente a lo largo de la línea geodésica en sí da un vector paralelo. En más términos físicos, la velocidad de una partícula que viaja a lo largo de ella es sin cambios , ya que sigue la línea geodésica. Geodesics natural generalizar la noción de "movimiento inercial = no hay aceleración". Por supuesto, eso es exactamente lo que Einstein concluyó, pero las matemáticas para explicar estas diversas relaciones entre la métrica y la conexión se publicaron un par de años después de GTR.
Pero es interesante que Einstein hizo no pensar en la curvatura del espacio-tiempo, como corresponde a la presencia de un campo gravitacional. Más bien, el pensamiento de la conexión de los coeficientes de la ecuación geodésica $$\frac{d^2x^\alpha}{d\lambda^2} + \Gamma^\alpha_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda} = 0$$ como los componentes de un campo gravitacional. Algunos autores modernos, no me gusta esto porque $\Gamma^\alpha{}_{\mu\nu}$ no tensorial, pero conceptualmente Einstein vista tiene más sentido: GTR se casa con la gravitación y la inercia, y con la anterior noción de "inercia", la conexión es exactamente lo que determina transporte paralelo y, por tanto, la inercia de movimiento.
David Mohundro
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tal vez Einstein estaba feliz por el hecho de que su teoría de la relatividad general ha resuelto un viejo dilema en la Mecánica Newtoniana: ¿por qué es la masa inercial = gravitacional de la masa?
aquí hay algunas maneras en que el principio de equivalencia débil puede ser declaró:
La trayectoria de un punto de masa en un campo gravitatorio sólo depende de su posición inicial y la velocidad, y es independiente de su composición.
Todas las pruebas las partículas al igual spacetime punto en un campo gravitacional se someten a la misma aceleración, independientemente de sus propiedades, incluyendo su masa de reposo.
Todos los locales de los centros de masa de vacío en caída libre a lo largo de idéntica (en paralelo a la población desplazada, a la misma velocidad) medidas mínimas trayectorias independientes de todas las propiedades observables.
El mundo vacío de la línea de un cuerpo sumergido en un campo gravitacional es independiente de todas las propiedades observables.
Los efectos locales del movimiento en un espacio curvo (gravitación) son indistinguibles de las de un observador acelerado en el espacio plano, sin excepción.
Masa (medido con una balanza) y peso (medido con una escala) son localmente en la misma proporción para todos los cuerpos (la página de apertura de Newton "Principia").
Joe Liversedge
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La idea básica es que desde pequeño, eléctricamente neutro los cuerpos con teniendo en cuenta las condiciones iniciales siguen universalmente definido trayectorias, puede definir las trayectorias para ser líneas rectas. Esto conduce a una teoría de la gravedad que es geométrica en carácter. Tomando la trayectoria, que normalmente pensaría como curvas y llamarlos directamente, uno es forzado a tomar el fondo del espacio y tiempo, lo que normalmente pensamos como siendo plano y llamada que curva.
fletom
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Respuesta corta: el famoso 'cohete ascensor' experimento de pensamiento.
Respuesta larga: resulta que el movimiento debido a la fuerza gravitacional que actúa sobre una parte de la masa es exactamente el mismo que el de movimiento debido a una misa en un marco de referencia acelerado. La famosa frase de Einstein imaginó que la experiencia de estar dentro de una ventana de cuadro, con ninguna forma de contacto con el exterior, acelerado por un cohete $9.8 m/ sec^2$, lo que de hecho y, en teoría, es idéntica a la experiencia de estar dentro de una caja que está sentado todavía en la superficie de la tierra. Un observador en el cuadro no puede decir la diferencia entre estas experiencias.
Este es, por supuesto, sólo una forma abstracta de pensar acerca de la $(\text{gravitational mass}) = (\text{inertial mass})$. Pero, partiendo de este punto de vista y la incorporación de la Relatividad Especial, es posible construir la teoría de la Relatividad General.
