Dado un grupo de orden $p^nq^2$ de dos números primos impares, demostrar que el conmutador es un grupo de p.

Question

Dado un grupo de orden $p^nq^2$ de dos números primos impares $p > q$, demostrar que el conmutador es un grupo de p.

Para resolver esta pregunta que es necesario probar que el conmutador no puede ser el % de pedidos $p^iq$, $p^jq^2$. Sé un teorema que establece que $G \diagup G'$ es abelian, pero no creo que conduce en cualquier lugar. La única manera de izquierda es inducción en $n$, pero no estoy seguro de cómo completar el paso de $n+1$.

Answer 1

Si $p>q$, entonces el $p$ no puede dividirse $q^2-1$, así que ni unos ni otros $q$ $q^2$ puede ser igual al % mod $1$% #%. Por lo tanto $p$ tiene un Sylow normal subgrupo-$G$ $p$, $P$, y $|G/P|=q^2$ es abelian, así $G/P$.