¿Se sabe que esta conjetura de la teoría de los números es cierta?

Question

He estado trabajando en demostrar que siempre hay un primo entre $n$ y $2n$ y también que siempre hay un primo entre $n^2$ y $(n+1)^2$ (conjetura de Legendre).

Creo que He probado esas dos afirmaciones utilizando el siguiente hecho:

Los números enteros más consecutivos divisibles por un número menor o igual que $n$ es $p-2$ , donde $p$ es el primer primo mayor que $n$ .

Por ejemplo, si $n=8$ entonces $p=11$ y puedo encontrar como máximo $9$ enteros consecutivos divisibles por números menores que $8$ . ( $200$ a través de $208$ es un ejemplo de números enteros consecutivos divisibles por $2,3,5,$ o $7$ )

Mi pregunta es si este hecho sobre la divisibilidad de los enteros consecutivos es bien conocido en la teoría de números, o si es algo que tendré que demostrar por separado antes de que las otras dos pruebas sean válidas.

Actualización : Esto se ha demostrado falso en la respuesta de Qiaochu Yuan.

Answer 1

Al comprobar la divisibilidad por números menores o iguales a un número basta con comprobar los primos, por lo que su afirmación es la siguiente:

Dejemos que $p_i$ sea la secuencia de primos. Entonces hay a lo sumo $p_{i+1} - 2$ números enteros consecutivos cada uno de los cuales es divisible por al menos uno de los primos $p_1, p_2, ... p_i$ .

Esta afirmación es falsa. Por ejemplo, hay $13 = p_{i+1}$ enteros consecutivos divisibles por al menos uno de los primos hasta $11$ (la reclamación predice $11$ ), a saber

$$114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126.$$

Continuando (al menos si mi script no se ha equivocado): hay

• $21 = p_{i+1} + 4$ enteros consecutivos divisibles por al menos uno de los primos hasta $13$ (terminando en $9460$ ),
• $33 = p_{i+1} + 10$ enteros consecutivos divisibles por al menos uno de los primos hasta $19$ (terminando en $60076$ )

y en este punto me quedo sin memoria.

La cadena más larga de números enteros consecutivos, cada uno de los cuales es divisible por al menos uno de los números $p_1, ... p_i$ es ciertamente una secuencia interesante $q_i$ pero a priori sólo podemos esperar $q_i \ge p_{i+1} - 2$ (tomando $2, 3, ... p_{i+1} - 1$ ), y no es de extrañar que fuera posible hacerlo mejor.