Dibujé el gráfico y su forma tridimensional. Estoy confundido sobre lo que sería el Radio en este problema. ¿Qué debo buscar para encontrar el radio de esta forma?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Has dibujado la forma, y la línea $x=4$ . Eso nos acerca al final. Toma un punto $x$ entre $-2$ y $-1$ . Dibuja la línea vertical en $x$ hasta la curva $y=x^{-4}$ . Ahora toma un pequeño "número" positivo $dx$ y dibujar una línea vertical en $x+dx$ hasta la curva.
La franja delgada entre estas líneas verticales se gira alrededor de la línea $x=4$ . ¿A qué distancia está la franja de $x=4$ ? Ese es tu radio.
La distancia es $4$ más la distancia de $x$ a $0$ . Desde $x$ es negativo, esta distancia es $|x|$ o, mejor, $-x$ .
Por lo tanto, el radio es $4-x$ . La altura de la cáscara cilíndrica es $x^{-4}$ . Esto hace que el volumen de la cáscara sea aproximadamente $2\pi (4-x)(x^{-4})\,dx$ . De ello se deduce que nuestro volumen es $$\int_{-2}^{-1}2\pi(4-x)(x^{-4})\,dx.$$ Para la integración, hay que tener en cuenta que $(4-x)(x^{-4})=4x^{-4}-x^{-3}$ .
Observación: Debido a una condición médica (alergia a los números negativos) reflejaría casi automáticamente a través de la $y$ -y girar la región de $x=1$ a $x=2$ sobre la línea $x=-4$ . La integral es entonces $$\int_1^2 2\pi(x+4)x^{-4}\,dx.$$ Esto es bastante más agradable.
