¿Qué es más grande, $p(\mathbb{N})$ o $\mathbb{R}$?

Question

Sé que $|p(\mathbb{N})|>|\mathbb{N}|$ y que $|\mathbb{R}|>|\mathbb{N}|$ y me pregunto si $|p(\mathbb{N})|>|\mathbb{R}|$ o no.

Lo que he probado hasta ahora: he encontrado la función de $\mathbb{R}$ $p(\mathbb{Q})$ definidas en $f(x)=\{q\in \mathbb{Q}|q<x\}$, que estoy seguro de que la función inyectiva, pero no en. $|\mathbb{Q}|=|\mathbb{N}|$, También $|p(\mathbb{Q})|=|p(\mathbb{N})|$, así que infiere que $|p(\mathbb{N})|\ge |\mathbb{R}|$. Pero ¿son iguales?

En este sentido, $p(A)$ es el poder conjunto de la A, denotado también por $2^A$ y definido como el conjunto de todos los subconjuntos de la A.

Answer 1

Tienes una inyección $\mathbb{R}\hookrightarrow p(\mathbb{N})$. Para ver que $\lvert \mathbb{R}\rvert = \lvert p(\mathbb{N})\rvert$, ahora necesita una inyección $p(\mathbb{N}) \hookrightarrow \mathbb{R}$.

$M\subset \mathbb{N}$, Consideremos por ejemplo

$$v(M) = \sum_{n\in M} 3^{-n}.$$

Answer 2

También puede observar que la existencia de la siguiente inyección de $p(\mathbb{Q})$ $\mathbb{R}$ junto con el hecho de que existe una inyección de $\mathbb{R}$ $p(\mathbb{Q})$ (es decir, que usted da) muestra que el $\lvert \mathbb{R}\rvert = \lvert p(\mathbb{Q})\rvert$:

$M\subset \mathbb{Q}$,

$$v(M) = \sum_{i=1}^n 10^{i-1+\sum_{i=1}^n p_i } + w(M) + \sum_{i=1}^n 10^{-(i+1+ \sum_{i=1}^n q_i )}$$

donde $w(M)=0.1$ si $0 \in M$, $0.2$ otra manera,

y $M = $ {$\frac{p_1}{q_1}, \frac{p_2}{q_2},..., \frac{p_n}{q_n}$}.

Por ejemplo, $v(${$\frac{1}{3}, \frac{2}{5}$} $)=10100.20001000001$