Prueba de que la gama de un mapa está determinada por su comportamiento en el límite.

Question

Sea f una asignación de un abierto barrio de las 3 dimensiones de la unidad de la pelota a los 2-plano dimensional. Supongamos que f es liso (infinitamente continuamente diferenciable en su dominio) y regular (es derivado, como una matriz de 2x3, tiene rango 2 en todas partes).

Me gustaría una prueba, o informado sugerencia, o contraejemplo, para la afirmación de que el f restringida a la bola unidad cerrada tiene el mismo alcance que f restringida a la unidad de la esfera.

No es difícil construir un contraejemplo cuando f es permitido ser nonregular.

Me han dicho que el problema para una asignación de 3 a 2 dimensiones, pero puede haber un problema similar que va de n a n-1 dimensiones. Para n=2 la prueba es trivial: una regular diferenciable de asignación de la cerrada de la unidad de disco a la línea alcanza su máximo en el límite del círculo.

Answer 1

Este es un problema interesante. A pesar de que originalmente pensando que el resultado era cierto y la publicación de una defectuosa "prueba" aquí, ahora puedo demostrar que es falsa. Para ello, voy a hacer uso de la publicación de un resultado que implica la existencia de un contraejemplo, aunque de forma más explícita de construcción de la que sería deseable.

Primero, un poco de notación. Regular los mapas como se indicó en la pregunta inundaciones. Un nudo es un círculo incrustado en $\mathbb{R}^3$ (se considera sólo suavemente incrustado nudos aquí), y un enlace $L\subset\mathbb{R}^3$ es una unión de $L=\bigcup_{i=1}^nL_i$ de un número finito de pares discontinuo conjunto de nudos, $\{L_1,L_2,\ldots,L_n\}$. Dado cualquier discontinuo par $L_i,L_j$ de nudos, vamos a $lk(L_i,L_j)$ ser su vinculación número. Voy a utilizar un resultado por Gilbert Héctor y Daniel Peralta-Salas¹. Un subconjunto $L$ $\mathbb{R}^3$ es fuertemente integrable (SI) si $L=\Phi^{-1}(0)$ para algunos liso sumersión $\Phi\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$. Ahora, citando de Hector & Peralta-Salas.

Teorema de 3.6.11. Un enlace en $\mathbb{R}^3$ es SI , si y sólo si $$ \sum_{j\=i}lc(L_i,L_j)=1\ mod.\ 2 $$ para todos los $i\in\{1,\ldots,n\}$.

Por ejemplo, esta condición se cumple para el Hopf enlace $L=L_1\cup L_2$ para un par de nudos $L_1,L_2$ de la vinculación entre la número 1, por lo $L$ es SI. Para nuestro contraejemplo, sólo requerimos que sí existe un vínculo que es SI. Como los enlaces son compactos, que están delimitadas en $\mathbb{R}^3$, por lo que, por la escala, podemos suponer que $L$ está contenido en la bola abierta de radio $1$. Entonces, no es un buen sumersión $\Phi\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$ tal que $L=\Phi^{-1}(0)$. Por eso, $0$ es en la imagen de $\Phi$ restringido a la unidad cerrada de la pelota, pero no está en la imagen de $\Phi$ restringido a la unidad de la esfera, dando la necesaria contraejemplo.

¹ Hector, G., Peralta-Salas, D: Integrable incrustaciones y foliaciones, American Journal of Mathematics, 134, 773-825 (2012), doi: 10.1353/ajm.2012.0018, disponible en arXiv:1012.4312.