Me pregunto si hay alguna diferencia entre los números no positivos y los negativos.
Creo que números negativos significa "números reales negativos"
y "Números no positivos" son los números reales negativos y los números complejos.
¿Es correcto?
Puesto que no hay forma de saber si los números complejos son negativos o positivos.
Así que cuando dice no positivo, creo que se incluyen los números complejos.
"Números positivos", "Números negativos", "No positivo" y "No negativo" sólo tienen sentido cuando se habla de los números reales (o de algún otro campo con descomposición positiva y negativa). No funciona en el contexto de los números complejos.
Números positivos (reales): $\mathbb{R}^+ = (0,\infty)$
Números negativos (reales): $\mathbb{R}^- = (-\infty, 0)$
Números (reales) no positivos: $\mathbb{R}^-\cup\{0\} = (-\infty,0]$
Números no negativos (reales): $\mathbb{R}^+\cup\{0\} = [0,\infty)$
Es decir, la diferencia entre los números positivos y los no negativos es que para los números positivos hace no incluyen el cero, mientras que para los no negativos hace incluir cero.
Cuando no se hace ninguna distinción, se supone que la persona se refiere a números reales.
Buena pregunta.
En matemáticas, nadie habla de "números", salvo en una especie de taquigrafía chapucera. Más bien, hablamos de "números naturales" $\mathbb{N}$ y "enteros" $\mathbb{Z}$ y "números racionales" $\mathbb{Q}$ y "números reales" $\mathbb{R}$ y "números complejos" $\mathbb{C}$ .
Así que una frase como "número no positivo" carece de sentido. Por otro lado, una frase como "número real no positivo" significaría un elemento $x$ de $\mathbb{R}$ tal que no $0 < x$ . Es decir, $x \leq 0$ .
Creo que nunca había oído el término "número no positivo" en ningún sentido. Pero supongo que teóricamente se puede utilizar cualquier término para significar lo que se quiera (incluidos significados contraintuitivos) siempre que se defina. Pero en aras de la claridad y para no causar confusiones innecesarias, le ruego encarecidamente que evite utilizar "números no positivos" para referirse a los números reales negativos y a los números complejos con parte imaginaria distinta de cero.
Veamos algunos ejemplos:
No hay nada de malo en decir, para un número complejo dado $z$ que $\Re(z)$ es positivo, negativo o 0. Pero es problemático decir que $\Im(z) \neq 0$ es positivo o negativo. Dado $x \in \mathbb{R}$ ¿considera que $\Im(xi) = x$ y que por lo tanto $\Im(z) \in \mathbb{R}$ ? ¿O considera que $\Im(xi) = xi$ ?
Tal vez esté pensando en el término similar "número no negativo", que casi siempre significa números tales que $\Re(x) \geq 0$ y $\Im(x) = 0$ . Ese término suele ser útil. Por ejemplo,
Todos los números no negativos tienen raíces cuadradas reales.
Los números negativos tienen raíces cuadradas imaginarias. Los números positivos no. Y el 0 tampoco, por lo que en esta aplicación quieres meterlo en el mismo saco que los números positivos. ¿Bajo qué circunstancia querrías agrupar el 0, los números negativos y todos los números $z$ satisfaciendo $\Im(z) \neq 0$ ?
Usted podría declarar que significa eso, pero usted no debería . Cuando hay más de una forma de extender un concepto, los matemáticos profesionales tienden a resistirse, tanto si la extensión resulta natural para un aficionado como si no. Y si la extensión no parece natural (como me parece a mí), puede causar confusión, aunque se tenga cuidado de definirla bien desde el principio.
Visualiza la recta de los números reales con $0$ en el centro, los números negativos a la izquierda y los positivos a la derecha (puedes orientarlo de otra manera en tu mente si quieres, pero entonces tendrás que ajustar algunas de las palabras siguientes). A continuación, si $x < 0$ es decir $x$ está a la izquierda de $0$ es negativo; y si $x > 0$ es decir $x$ está a la derecha de $0$ es positivo.
Visualiza ahora el plano complejo enfocado con la recta de los números reales como eje horizontal central. Los números $x$ en la recta de los números reales tienen $\Im(x) = 0$ y $\Re(x) \neq 0$ excepto $x = 0$ . Perpendicular a la recta de los números reales, tenemos la recta de los números imaginarios. Los números $y$ en la recta de los números imaginarios tienen $\Re(y) = 0$ y $\Im(y) \neq 0$ excepto $y = 0$ .
Quizás podríamos llamar a esos números complejos tales que $\Re(z) > 0$ "positivos" y los que tienen $\Re(z) < 0$ "negativo". Pero hacer eso nos parece incorrecto porque estamos ignorando la parte imaginaria del número. Las rectas numéricas real e imaginaria dividen el plano complejo en cuatro cuadrantes. Así, un número complejo $z$ tal que $\Re(z) \neq 0$ y $\Im(z) \neq 0$ está en uno de los cuatro cuadrantes, que podríamos llamar "positivo-positivo", "positivo-negativo", "negativo-positivo" y "negativo-negativo".
Pero este concepto de cuadrante no parece ser demasiado útil. Por ejemplo, en la teoría algebraica de números, el concepto de norma es mucho más útil. La norma de un entero algebraico en un anillo entero cuadrático imaginario (como $1 + i$ en $\mathbb{Z}[i]$ por ejemplo) es $0$ o un número entero real positivo. Números como $-1 + i$ y $1 - i$ se llaman "asociados", pero como tienen la misma norma, no importa mucho cuál está en cada cuadrante.
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