Cómo mostrar $\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ es homeomorfa a $\mathbb{R}/\mathbb{Z} \times \mathbb{R}/\mathbb{Z}$

Question

Sé que es homeomorfa a $\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ $S_1 \times S_1$ y es homeomorfa a $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ así el producto es homeomorfa a $S_1$ $S_1 \times S_1$. Pero me pregunto si hay una manera de mostrar que los espacios cociente son homeomórficos sin tener que referirse a $S_1$.

Answer 1

Considerar dos espacios $A,B$ $R,S$ de las relaciones de equivalencia. $R\times S$ Es una relación de equivalencia, y hay un mapa natural $p:(A\times B)/(R\times S)\to A/R\times B/S$. Esto siempre es un bijection continuo, pero puede que no sea un Homeomorfismo. En tu caso puesto que los espacios compacto Hausdorff, es. Uno puede debilitar la hipótesis, sin embargo. No sé hasta qué punto.