Calcular el 146ª dígitos después del punto decimal de $ \frac{1}{293} $

Question

La pregunta es: Calcular el 146º de dígitos después del punto decimal de la $\frac{1}{293}$

1 / 293 = 0,00341296928.., así, por ejemplo, el quinto dígito es un 1.

Sabemos que 293 es una de las principales, probablemente esto nos ayudaría. Creo que una ecuación con modulos tiene que ser resuelto, pero no estoy seguro de cómo hacer frente a este.

Cualquier ayuda es muy apreciada. Tal vez podría alguien dar un método general para resolver este tipo de problemas?

EDIT: se supone Que para resolver esto sin utilizar un ordenador.

Answer 1

Deje $r$ el resto al $10^{146}$ se divide por $293$. A continuación, la respuesta es dada por el último dígito de la $(10^{146} - r) / 293$.

¿Por qué es esto cierto? Desde $1/293$ es un número positivo menor que uno, es de la forma

$1/293 = 0.a_1a_2a_3a_4 \ldots$

y así

$10^{146}/293 = a_1a_2 \ldots a_{145}a_{146}.a_{147}a_{148} \ldots$

Por otro lado, por el algoritmo de la división $10^{146}/293 = q + r/293$ donde $q$ es el cociente e $0 \leq r < 293$ es el resto. Desde $q$ es un número entero y $0 \leq r/293 < 1$, se deduce que el $q = a_1a_2 \ldots a_{145}a_{146}$$r/293 = 0.a_{147}a_{148} \ldots$.

A continuación,$(10^{146} - r)/293 = q = a_1a_2 \ldots a_{145}a_{146}$.

Por lo tanto, podemos aplicar la aritmética modular para resolver el problema. Observe que

$(10^{146} - r) \cdot 293^{-1} \equiv -r \cdot 293^{-1} \equiv -r \cdot 3^{-1} \equiv -r \cdot 7 \equiv 3r \mod 10$.

Por lo tanto, el último dígito es igual a $3r \mod 10$.

Lo que queda es para calcular el $r$. Para este caso en particular no sé de ninguna manera mejor que el cálculo directo. Repite el cuadrado de obras, pero es posible que desee utilizar una calculadora. Resulta que $10^{146} \equiv 1 \mod 293$, y por lo tanto la respuesta es $3$.

Answer 2

Considere la posibilidad de un número racional $r = \frac{1}{d}$ y supongamos que se tiene una expansión decimal de la forma$0.\underbrace{d_1d_2\ldots d_m}_{\text{non-recurring}}\underbrace{d_{m+1}d_{m+2}\ldots d_{m+n}}_{\text{recurring}}d_{m+n+1}\ldots$$d_{k+n} = d_{k}$$\forall k > m$.

Deje $A$ ser el entero formado por el primer $m$ dígitos $A = d_1d_2\ldots d_m$, e $B$ ser el entero formado por los próximos $m$ dígitos $B = d_{m+1} d_{m+2} \ldots d_{m+n}$. Entonces tenemos $$ 10^m r - A = 0.d_{m+1}d_{m+2}\ldots d_{m+n} d{m+1} d_{m+2} \ldots $$ Multiplicando ambos lados con $10^n$ tenemos $$ 10^n (10^m r - A) = B + (10^m r - A) $$ O, equivalantly $$ 10^m \left(10^n - 1 \right) = \left( B - a \a la izquierda(10^n - 1 \right)\right) d $$ Esto implica que $10^m \left(10^n - 1 \right) \bmod d = 0$.

Ya que en el caso de $d$ es relativamente primer a $10$, la más pequeña de las soluciones para$m$$n$$m=0$$n = \operatorname{ord}_{d}(10)$. El multiplicativo orden se define como la menor exponente $n$ tal que $10^n \equiv 1 \mod d$. Multiplicativa orden de $\operatorname{ord}_d(10)$ es un divisor de Euler totient función de $\phi(d)$. Desde $d = 293$ es el prime $$ \phi(293) = 293-1 = 292 = 2^2 \cdot 73 $$ por lo tanto debemos tratar de $n = 73$, $n=146$ y, a continuación,$n=292$. No es difícil ver que $10^{73} = - 1 \bmod 293$, lo $n= 146$.

Después de haber decidido que, el 146-ésimo dígito es igual a $B \bmod 10$. $$ (10^n-1) = B d $$ lo que significa que $B \bmod 10 = (-1) d^{-1} \bmod 10 = 3$.

Answer 3

La siguiente es una pequeña variante de los métodos de Sasha y Lopsy. Nos muestran que $10$ es un residuo cuadrático de $293$. Esto nos permite concluir que $10^{146} \not\equiv -1 \pmod{293}$.

Es sólo un símbolo de Legendre de cálculo. Para la facilidad de uso se denota el símbolo de Legendre por $(a/p)$ en lugar de $\left(\frac{a}{p}\right)$.

Tenga en cuenta que $(10/293)=(2/293)(5/293)$. Desde $293$ es de la forma$8k+5$,$(2/293)=-1$.

Para calcular el $(5/293)$ hacemos uso de la Reciprocidad Cuadrática. Desde uno, y de hecho tanto, de $5$ $293$ son de la forma $4k+1$, $$(5/293)=(293/5)=(3/5).$$ Se podría continuar con la Reciprocidad Cuadrática, pero por la inspección de $(3/5)=-1$. Por lo tanto $(10/293)=(-1)(-1)=1$, y llegamos a la conclusión de que $10$ es de hecho un residuo cuadrático de $293$.

Answer 4

El $146^\text{th}$ dígitos de $\frac1{293}$ es $$ d = \left\lfloor\frac{10^{146}}{293}\a la derecha\rfloor - 10 \left\lfloor\frac{10^{145}}{293}\a la derecha\rfloor, $$

y el sabio dice que es 3 (sabio no contar los ceros a la izquierda en el decimal de la mantisa):

(1/293).n(digits=144)

0.00341296928327645051194539249146757679180887372013651877133105802047781569965870307167235494880546075085324232081911262798634812286689419795221843

floor(10^146/293)-10*floor(10^145/293)

3

Por qué, bueno, $p=293$ es primo, y $p-1=292=2^2\cdot73$, y cualquier entero$a$, que es relativamente primer a $p$ le han pedido a $d$ dividiendo $p-1$. Así que el más pequeño de energía positiva $d$$a=10$, de modo que $a^d\equiv1\pmod p$ debe $2,4,73,2\cdot73=146$ o, si ninguno de estos,$4\cdot73=292$. Ahora $d=2$ $d=4$ puede ser fácilmente descartada ya que $100,1000\not\equiv1\pmod{292}$. Para $d=73$, tenga en cuenta que $73=(10010001)_2=2^6+2^3+2^0$, por lo que podemos calcular el $10^{73}$ modulo $293$ (y su cuadrado si es necesario) como sigue: $$10^2=100$$ $$10^4=(100)^2=10000\equiv38\pmod{293}$$ $$10^8\equiv(38)^2=1444\equiv272\equiv-21\pmod{293}$$ $$10^9\equiv10\cdot(-21)=-210\equiv83\pmod{293}$$ $$10^{18}\equiv(83)^2=6889\equiv150\pmod{293}$$ $$10^{36}\equiv(150)^2=22500\equiv232\equiv-61\pmod{293}$$ $$10^{72}\equiv(-61)^2=3721\equiv205\equiv-88\pmod{293}$$ $$10^{73}\equiv10\cdot(-88)=-880\equiv292\equiv-1\pmod{293}$$

Since squaring the last quantity gives $1$ modulo $293$, nos encontramos con que $d=\text{ord}_{293}{10}=2\cdot73=146$. Este método es llamado repetidas cuadrado: a partir de $a=10$ (paso de $0$), repetidamente cuadrado el resultado, multiplicando de nuevo por $a$ (modulo $p$) en cada paso intermedio $i$ (después de la cuadratura) si el bit $i$, correspondiente a $2^i$ en el binario de expansión de $d$, es uno.

Ahora con @m-k del post, veremos por qué. Si $10^{146}=q\cdot293+r$, con $q$ $r$ dada por el algoritmo de la división, es decir, $q,r\in\mathbb{Z}$ $0\leq r<293$ , $q$ es la primera cantidad en la fórmula anterior para el $d$: $$ q=\left\lfloor\frac{10^{146}}{293}\a la derecha\rfloor =\frac{10^{146}-r}{293}, $$ y su último dígito, es decir, su resto modulo $10$ -- es igual a $d$: $$ d\equiv q\pmod{10}. $$ Sin embargo, modulo $10$, tenemos $$ 293q\equiv-r \pmod{10} \quad \implica \quad q\equiv293^{-1}\cdot-r \equiv-3^{-1}r \equiv-7r \equiv3r \pmod{10}. $$ Pero ya hemos encontrado que $r=1$, ya que el $10^{146}\equiv1\pmod{293}$, así que $$ d\equiv q\equiv 3r\equiv 3\pmod{10}. $$