¿Es $\cos x$ irreducible como una serie de energía?

Question

Sea $\mathbb{Q}_{\mathrm{ent}}[[x]]$ el anillo de funciones enteras con coeficientes racionales. Es $ \cos x \; = \; ¿\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\!\frac{x^{2n}}{(2n)!} $$ irreducible en $\mathbb{Q}_\mathrm{ent}[[x]]$?

Answer 1

Tenemos la identidad trigonometric

$$\cos x = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} = \left(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}\right)\left(\cos\frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}\right),$$

y ambos factores son toda serie de potencias con coeficientes racionales y no, ya que tienen ceros en $\mathbb{C}$.