Categorías para el matemático que trabaja S. Mac Lane, 3.2, ex. 1:
Dejemos que los funtores $K, K'\colon D\to \mathbf{Set}$ tienen representaciones $\left<r,\psi\right>$ y $\left<r', \psi'\right>$ respectivamente. Demostrar que a cada transformación natural $\tau\colon K\stackrel{*}{\rightarrow} K'$ existe un morfismo único $h\colon r' \to r$ de $D$ tal que $$ \tau\circ\psi = \psi' \circ D\,(h, -)\colon D\,(r,-)\stackrel{*}\longrightarrow K' $$
Aquí está mi intento:
Desde $\psi'$ es una representación, es un isomorfismo, por lo que existe una transformación natural inversa $\psi'^{-1}$ que se obtiene invirtiendo las flechas. Consideremos la composición $$ \psi^{\prime-1}\circ\tau\circ\psi\colon D\,(r,-)\to D\,(r',-) $$ Es una transformación natural entre homofunctores covariantes. Del lema de Yoneda se deduce que existe un único $h\colon r'\to r$ tal que $\psi^{\prime-1}\circ\tau\circ\psi = D\,(h,-)$ . Componer con $\psi'$ a la izquierda, se obtiene la tesis.
Ahora bien, lo que parece inquietante es que el argumento anterior no se basa en el hecho $\psi$ es isomorfo. ¿Estoy siendo paranoico? ¿O me he perdido algo?
