¿es necesariamente cierto que el mapa $\pi_1$ inducida por f es sobre?

Question

Esta es una pregunta qual y no tengo ni idea de cómo empezar. Ayuda es muy apreciada.

Que $X$ y $Y$ camino conectado espacios, y que $f : X \rightarrow Y$ un mapa continuo. El mapeo cono $Cf$ $f$ se define como el espacio cociente de $Y \coprod (X \times [0, 1])$ obtenidos por identificar cada punto $(x,0), x \in X,$ % punto $f(x) \in Y,$y la identificación de los puntos $(x,1)$ a un solo punto. Si $\pi_1(Cf)$ es trivial, ¿es necesariamente cierto que el mapa $\pi_1$ inducida por f es sobre? Demostrar o dar un contraejemplo.

Answer 1

Voy a añadir algo más de detalle a la anterior sugerencia: $Cf$ puede estar formado por pegar el cono $CX=C(\mbox{Id}_X)$ a la cartografía del cilindro' $M_f$ que es igual al cociente de $Y\sqcup (X\times[0,1])$ mediante la identificación de $(x,0)$$x\in X$$f(x)\in Y$. Tenga en cuenta que $C X$ es contráctiles, y $M_f$ deformación se retrae en el natural subespacio $Y$.

Pegamos estos dos juntos en sus respectivos incrustado copias de $X$ en la forma natural y en su intersección como subespacio de $C_f$$X$. Si tomamos una pequeña abrir "engrosamiento" de estos subespacio de $Cf$ podemos aplicar Van Kampen del teorema debido a que los espacios necesarios están trayectoria-conectado y abierto. Os dejo la conclusión a usted.