Representación irreducible de $S_4$

Question

Podría uno por favor señalar una representación irreducible de grado 2 del grupo $S_4$. Gracias.

Answer 1

Deje $\rho^{std}$ ser el estándar de la rep. de $S_3$ $V$ (la dimensión de La $V$ es igual a $2$). Deje $\phi: S_4 \rightarrow S_4/C_2^2$ ser un surjective grupo homomorphism, y $\Omega: S_4/C_2^2 \rightarrow S_3$ un grupo de isomorfismo.

Reclamo: La retirada de la representación:

\begin{align} p: S_4 &\rightarrow GL(V)\\ g &\mapsto \rho^{std}(\Omega\circ \phi(g)) \end{align}

es una irreductible rep. de $S_4$$V$.

Prueba: El homomórfica de propiedad de $p$ se desprende directamente de la homomórfica de la propiedad de $\rho^{std}$, $\phi$ y $\Omega$ por lo tanto $p$ es una representación en $V$. Deje $W$ ser no trivial invarinat subespacio de $V$ bajo $p$:

$$p(g)w = \rho^{std}(\Omega\circ \phi(g)) w = \rho^{std}(h) w \in W$$

Debido a $\Omega$ $\phi$ son surjective esto vale para todos los $h \in S_3$. Así, tenemos la contradicción de que $W$ es no trivial invarinat subespacio de $V$ bajo $\rho^{std}$.

Ahora a probar la hipótesis hice calculamos el Cociente grupo: $S_4/C_2^2$ y vamos a ver que es isomorfo a $S_3$. Después de algunos cálculos encontramos los Elementos de $S_4/C_2^2$:

\begin{align} [C_1] &= \{ (e), (12)(34), (13)(24), (14)(23) \}\\ [C_2] &= \{ (12), (34), (1324), (1423) \}\\ [C_3] &= \{ (13), (24), (1234), (1432) \}\\ [C_4] &= \{ (14), (23), (1243), (1342) \}\\ [C_5] &= \{ (123), (134), (243), (142) \}\\ [C_6] &= \{ (234), (124), (132), (143) \} \end{align}

el natural de mapa de $\phi: S_4 \rightarrow S_4/C_2^2$ es, obviamente, surjective y es un grupo homomorphsim como el Cociente del grupo de una clase Conjugacy es de nuevo un grupo. Ahora sólo tenemos que demostrar que $S_4/C_2^2$ es isomorfo a $S_3$. Podemos definir el mapa

\begin{align} \Omega : S_4/C_2^2 &\rightarrow S_3\\ [C_1] &\mapsto (e)\\ [C_2] &\mapsto (12)\\ [C_3] &\mapsto (13)\\ [C_4] &\mapsto (23)\\ [C_5] &\mapsto (123)\\ [C_6] &\mapsto (132) \end{align}

que es homomórfica (algunos cálculos más) y, obviamente, bijective así, un grupo de isomorfismo. Esto concluye la prueba.