Por la diferenciación logarítmica, se deduce que \ [P_n n = \sum_{j=1}^n \, \sigma(j) P_ {n-j} \] donde $P_n$ es el número de la partición de $n$-th y $\sigma(j)$ la suma de los divisores de $j$.
Veo que hay una bonita prueba con funciones generatrices aquí. ¿Hay también una prueba combinatoria de esta identidad?
El lado izquierdo cuenta el número de Jóvenes diagramas de tamaño $n$ con un cuadrado marcado (la forma del diagrama da una partición, y para cada forma hay $n$ opciones para la plaza de la marca). Dado $j$, el número de $\sigma(j)$ cuenta el número de maneras de organizar $j$ plazas en un rectángulo y se marca un cuadrado en la fila superior del rectángulo (la forma $(j/d)\times d$ corresponde al divisor $d$$j$, y se cuenta el $d$ a veces, el número de columnas del rectángulo).
Ahora extracto de una marcada Jóvenes diagrama del rectángulo formado por la fila que contiene el marcado de la plaza y todas las filas de la misma talla; si el rectángulo tiene el tamaño de $j$, entonces un Joven diagrama de con $n-j$ plazas sigue siendo. Por el contrario dado sin marcar una Joven diagrama de con $n-j$ de las plazas y de un rectángulo de $j$ plazas con un cuadrado marcado en su fila superior, cuya longitud es de unos divisor $d$$j$, inserte el rectángulo en el Joven diagrama después de las filas de la longitud de la${}\leq j$.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
