Cómo puedo mostrar que $\{[\frac{i}{2^n},\frac{i+1}{2^n})\mid i\in \mathbb Z, n\in\mathbb N\}$ es un sistema de $\pi-$.

Question

$P$ Y $Q$dos probabilidad en $\mathbb R$ y que $$\mathcal A=\left\{\left[\frac{i}{2^n},\frac{i+1}{2^n}\right)\mid i\in \mathbb Z, n\in\mathbb N\right\}.$ $

Tenemos que $P(A)=Q(A)$ % todos $A\in \mathcal A$. Y necesito demostrar que $P=Q$ $\mathbb R$. Ya he probado que $\mathcal B(\mathbb R)=\sigma (\mathcal A)$, y por lo tanto, creo que tengo que demostrar que $\mathcal A$ es un sistema de $\pi-$. El problema, es un error. En primer lugar, puedo tomar $A,B\in \mathcal A$s.t. $A\cap B=\emptyset$ y $\emptyset\notin \mathcal A$, tendré añadirlo en $\mathcal A$? Y secondely, si $A\cap B\neq \emptyset$, creo que tengo que demostrar que sea $A\subset B$ o $B\subset A$, pero también falló. ¿Cómo puedo concluir?

Answer 1

1. No dude en Añadir $\emptyset$ $\mathcal{A}$. Sin duda, $P(\emptyset)=Q(\emptyset)$. También debe quedar claro que $\mathcal{A}$ de lo contrario no es cerrada bajo intersecciones pares.

2. Si $A\cap B\neq\emptyset$, es de hecho el caso que $A\subseteq B$ o $B\subseteq A$. Ahora Supongamos que %#% $ $$\left[\frac{i}{2^n},\frac{i+1}{2^n}\right)\cap \left[\frac{j}{2^k},\frac{j+1}{2^k}\right)\neq\emptyset$ #%. Entonces $k\geq n$ $ así que sólo tienes que mostrar que $$\left[\frac{i}{2^n},\frac{i+1}{2^n}\right)=\left[\frac{i\cdot 2^{k-n}}{2^k},\frac{(i+1)\cdot 2^{k-n}}{2^k}\right),$ $ implica $$\left[\frac{i\cdot 2^{k-n}}{2^k},\frac{(i+1)\cdot 2^{k-n}}{2^k}\right)\cap \left[\frac{j}{2^k},\frac{j+1}{2^k}\right)\neq\emptyset$ $ y se realizan.