¿Por qué, dado un número natural $n$, $n^6$ siempre tiene el resto de 1 cuando se divide por 7?

Question

¿Estoy tratando de demostrar por qué es un número natural $n$ (que no es un múltiplo de $7$) cuando se toma el poder de seis ($n^6$) y dividido por 7 siempre tienen el resto de 1? No se supone que yo uso "Fermats pequeño teorema", pero estoy dado la sugerencia de que los números sólo tengo en cuenta son $1, 2, 3, 4, 5, 6$.

Le agradeceria mucho si alguien podría explicar esto a mí.

Gracias

Answer 1

Cada número entero que no es divisible por $7$ es de la forma $7k\pm 1$, $7k\pm 2$, o $7k\pm 3$ donde $k$ es un número entero. Imagínese tomando el $6$-ésima potencia de uno de estos números. El resultado será un múltiplo de $7$, además de uno de $1^6$, $2^6$, o $3^6$. Es fácil comprobar que en cada uno de estos casos, el resultado se resta $1$ sobre la división por $7$. Para $1^6$ es obvio. Desde $2^6=64$, tenemos el resultado de $2^6$. Para $3$ nos tenga en cuenta que $3^2$ resto $2$ sobre la división por $7$, e $2^3$ resto $1$.

Answer 2

Cuando dividen por atención 7 y solamente sobre los restos, los números sólo sobre que eres realmente cuidando son 0 y 6. Esto es porque estos representan las posibilidades solamente de restos.

Si revisas cada uno de esos números específicamente, ver que todos ellos tienen un resto de 1: $$\begin{align} 1^6 &= 1 \\ 2^6 &= 64 = 9\cdot7 + 1\\ 3^6 &= 729 = 107 \cdot 7 + 1 \\ 4^6 &= 4096 = 585 \cdot 7 + 1 \\ 5^6 &= 15625 = 2232 \cdot 7 + 1 \\ 6^6 &= 46656 = 6665 \cdot 7 + 1 \end {Alinee el}$$

Answer 3

Usted puede reducir el tamaño de los números que necesita para hacer frente a notando que n^6-1=(n^3-1)(n^3+1)=(n-1)(n+1)(n^2-n+1)(n^2+n+1) $$\,.$$ Así que si alguno de esos cuatro factores múltiplos de $7$, así también será el $n^6-1$.

Ahora,

• $1-1=0 \times 7$
• $2^2+2+1=1 \times 7$
• $3^2-3+1=1 \times 7$
• $4^2+4+1=3 \times 7$
• $5^2-5+1=3 \times 7$
• $6+1=1 \times 7$

así que uno de estos factores es un múltiplo de $7$ % todos $n \in \{1,2,3,4,5,6\}$.