¿Por qué es restricción de Weil adjoint derecho a cambio de la base?

Question

Deje $k'/k$ ser un campo finito de extensión, y deje $X'$ ser afín esquema de grupo sobre $k'$. Podemos definir el Weil restricción de $X'$ a ser el grupo afín esquema de $\mathrm{Res}_{k'/k}(X')$ $k$ cuyas $A$valores de los puntos están dados por:

$$\mathrm{Res}_{k'/k}(X')(A)=X'(A\otimes_kk')$$

donde $A$ es cualquier conmutativa $k$-álgebra. Aquí podemos ver afín grupo de esquemas como representable functors de álgebras conmutativas a los grupos.

Me gustaría ver por qué Weil restricción de derecho medico adjunto de cambio de base, que es, por eso tenemos una natural correspondencia:

$$\mathrm{Hom}_{\text{aff. gp. sch./k}}(X,\mathrm{Res}_{k'/k}(X'))\cong\mathrm{Hom}_{\text{aff. gp. sch./k'}}(X\times_kk',X')$$

Mi idea: en mi experiencia, adjunto functors generalmente surgen de algunos universal de los bienes, lo que significaría que se necesita algún tipo de natural mapa entre el$\mathrm{Res}_{k'/k}(X')$$X'$, pero estos objetos no están aún en la misma categoría, por lo que esta sugerencia puede ser una tontería. No tengo muy buena intuición aquí. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Tenga en cuenta que el functorial definición de la Weil restricción es realmente fácil, pero uno tiene que mostrar que el functor es representable y, por tanto, es realmente un grupo afín esquema (y no sólo un grupo functor). Pero esto no es realmente necesario para entender la contigüidad, ya que tiene de arbitrario functors y arbitraria adjunctions (soy demasiado perezoso para escribir la declaración precisa; mi punto es simplemente que realmente tenemos algo completamente formal aquí). Recordemos las definiciones:

• Una de morfismos $X \to \mathrm{Res}(X')$ es un montón de mapas de $X(A) \to X'(A \otimes_k k')$ por cada $k$-álgebra $A$, que son naturales en $A$.

• Una de morfismos $X \times_k k' \to X'$ es un montón de mapas de $X(B|_k) \to X'(B)$ por cada $k'$-álgebra $B$, que son naturales en $B$. Aquí, $B|_k$ indica el $k$-álgebra dada por la restricción de escalares.

La correspondencia está dada de la siguiente manera:

• Dado $X \to \mathrm{Res}(X')$, definimos $X(B|_k) \to X'(B|_k \otimes_k k') \to X'(B)$, natural mediante el mapa de $k'$-álgebras $B|_k \otimes_k k' \to B$ (counit). Esto define $X \times_k k' \to X'$.

• Dado $X \times_k k' \to X'$, definimos $X(A) \to X((A \otimes_k k') |_k) \to X'(A \otimes_k k')$ natural mediante el mapa de $A \to (A \otimes_k k')|_k$ (unidad) de $k$-álgebras. Esto define $X \to \mathrm{Res}(X')$.