De Fourier del valor principal de Cauchy

Question

Trato de entender la directa cálculo de la transformada de Fourier de la distribución de `el valor principal de Cauchy' $v.p \frac{1}{x}$. No entiendo el siguiente cambio de orden de integración: $$ v. p.\int_\mathbb{R} \frac{1}{x}\Bigg(\int_\mathbb{R} e^{-kix}\varphi(k)dk\Bigg)dx=\int_\mathbb{R} \varphi(k)\Bigg(v. p.\int_\mathbb{R} \frac{e^{-kix}}{x}dx\Bigg)dk $$ donde $\varphi$ es un Schwartz función y donde v. p. denota el principal valor de la integral.

Por qué y cómo justificar con rigor este cambio de orden de integración?

Answer 1

No podemos usar Fubini directamente como se indica en la OP. Que $S_{\varepsilon,R}:=\{t\in\Bbb R, \varepsilon<|t|<R\}$. Usando el teorema de Fubini y una reescritura de la integral interior, llegar a la igualdad $$\int_{\Bbb R\times\Bbb R}\frac{e^{-isx}}x\varphi(s)\chi_{S_{\varepsilon,R}}(x)dxds=-\int_{\Bbb R}\varphi(s)\int_{s\varepsilon}^{sR}\frac{\sin u}ududs.$ $ podemos encontrar $M$ tales que para todos los $t$, $\left|\int_0^t\frac{\sin u}u du\right|<M$ %. Esto nos permite utilizar el teorema de convergencia dominada para tomar límite $R\to +\infty$ en la igualdad mostrada. Este da utilizar $$\int_{\{|x|>\varepsilon\}}\int_{\Bbb R}\frac{e^{-isx}}x\varphi(s)dxds=-\int_{\Bbb R}\varphi(s)\int_{s\varepsilon}^{+\infty}\frac{\sin u}ududs.$ $ dominado Teorema de convergencia para adoptar el límite con respecto a los $\varepsilon$.