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De Fourier del valor principal de Cauchy

Trato de entender la directa cálculo de la transformada de Fourier de la distribución de `el valor principal de Cauchy' v.p1x. No entiendo el siguiente cambio de orden de integración: v.p.R1x(Rekixφ(k)dk)dx=Rφ(k)(v.p.Rekixxdx)dk donde φ es un Schwartz función y donde v. p. denota el principal valor de la integral.

Por qué y cómo justificar con rigor este cambio de orden de integración?

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Davide Giraudo Puntos 95813

No podemos usar Fubini directamente como se indica en la OP. Que Sε,R:={tR,ε<|t|<R}. Usando el teorema de Fubini y una reescritura de la integral interior, llegar a la igualdad R×Reisxxφ(s)χSε,R(x)dxds=Rφ(s)sRsεsinuududs.$$podemosencontrar$M$talesqueparatodoslos$t$,$|t0sinuudu|<M$\int_{\{|x|>\varepsilon\}}\int_{\Bbb R}\frac{e^{-isx}}x\varphi(s)dxds=-\int_{\Bbb R}\varphi(s)\int_{s\varepsilon}^{+\infty}\frac{\sin u}ududs. dominado Teorema de convergencia para adoptar el límite con respecto a los ε.

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