¿#% Es que $n$% #%?

Question

He estado tratando de averiguar por que $n$ $$ \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}x}{2+\sin nx} = \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}x}{2+\sin x}=\frac{\pi}{3\sqrt{3\,}\,}$$ El uso de arce tengo los siguientes valores por debajo de 100 $$ n = 1 ,\,2 ,\,12 ,\,13 ,\,14 ,\,24 ,\,25 ,\,26 ,\,36 ,\,37 ,\,38 ,\,48 ,\,49 ,\,50 ,\,60 ,\,61 ,\,62 ,\,73 ,\,74 ,\,85 ,\,86 ,\,98 ,\,110 $$ Pero estoy teniendo un tiempo difícil ver a algún patrón. Traté de calcular la integral directamente. La integral parece converger para todos los $n$, pero de una forma cerrada parece difícil. Cualquier ayuda se agradece =)

EDIT: me encontré con un par de pruebas más y no puede encontrar nada más valores enteros de trabajo. Son de la anterior lista exhaustiva?

Answer 1

Algo anda mal. Tenemos

$$\int_0^{\pi/2} \frac{dx}{2+\sin (nx)} = \frac{1}{n}\int_0^{n\pi/2} \frac{dy}{2+\sin y}.$$

El uso de

$$\int_0^{2\pi} \frac{dy}{2+\sin y} = \frac{2\pi}{\sqrt{3}},$$

escrito $n = 4k + r$$0 \leqslant r \leqslant 3$, nos encontramos con

$$\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{2+\sin (nx)} = \frac{k}{4k+r}\cdot \frac{2\pi}{\sqrt{3}} + \frac{1}{4k+r}\int_0^{r\pi/2}\frac{dy}{2+\sin y}.$$

En particular, para $r = 0$, tenemos

$$\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{2+\sin (4kx)} = \frac{1}{4}\frac{2\pi}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{2\sqrt{3}} \neq \frac{\pi}{3\sqrt{3}}.$$

No $n$ divisible por $4$ satisface la ecuación. Para $n = 4k+1$, tenemos el valor

$$\frac{k}{4k+1} \frac{2\pi}{\sqrt{3}} + \frac{1}{4k+1}\frac{\pi}{3\sqrt{3}} = \frac{6k+1}{4k+1} \frac{\pi}{3\sqrt{3}},$$

que sólo es igual a $\frac{\pi}{3\sqrt{3}}$$k = 0$.

Para $n = 4k+2$, tenemos

$$\frac{k}{4k+2}\frac{2\pi}{\sqrt{3}} + \frac{2}{4k+2} \frac{\pi}{3\sqrt{3}} = \frac{6k+2}{4k+2}\frac{\pi}{3\sqrt{3}},$$

que también es igual a $\frac{\pi}{3\sqrt{3}}$$k = 0$.

Para $n = 4k+3$, tenemos

$$\frac{k}{4k+3}\frac{2\pi}{\sqrt{3}} + \frac{1}{4k+3}\frac{4\pi}{3\sqrt{3}} = \frac{6k+4}{4k+3}\frac{\pi}{3\sqrt{3}},$$

que nunca es igual a $\frac{\pi}{3\sqrt{3}}$. Por lo tanto $n = 1$ $n = 2$ son sólo soluciones.

Answer 2

Sub $y=n x$ y el uso de una sustitución de Weierstrass $t=\tan{(y/2)}$ y conseguir que la integral es

$$\frac1{n} \int_0^{\tan{(\pi n/4)}} \frac{dt}{1+t+t^2} $$

Evaluar esta expresando el denominador como $(t+1/2)^2+3/4$ para obtener una expresión para la integral y la declaró ecuación:

$$\frac{2}{\sqrt{3} n} \arctan{ \left [\frac{\sqrt{3}}{2 \cot{\left (\frac{\pi}{4} n \right )+1}} \right ] } = \frac{\pi}{3 \sqrt{3}} $$

Un rápido análisis muestra que esto funciona para$n=1$$n=2$. Supongo que tendría que definir la rama de la arcotangente de acuerdo con el valor de $n$. Por ejemplo, agregar $2 \pi$ a cada múltiplo de $8$$n$. Por ejemplo,

$$\arctan{ \left [\frac{\sqrt{3}}{2 \cot{\left (\frac{\pi}{4} \right )+1}} \right ] } = \frac{\pi}{6} $$

$$\arctan{ \left [\frac{\sqrt{3}}{2 \cot{\left (\frac{9 \pi}{4} \right )+1}} \right ] } = \frac{\pi}{6} + 2\pi$$

$$\arctan{ \left [\frac{\sqrt{3}}{2 \cot{\left (\frac{17 \pi}{4} \right )+1}} \right ] } = \frac{\pi}{6} + 4\pi$$

y así sucesivamente. Así, por $n=12$, tenemos

$$\frac{2}{12 \sqrt{3}} \arctan{ \left [\frac{\sqrt{3}}{2 \cot{\left (\frac{12 \pi}{4} \right )+1}} \right ] } = \frac{1}{6 \sqrt{3}} 2 \pi = \frac{\pi}{3 \sqrt{3}} $$

Para $n=13$, tenemos

$$\frac{2}{13\sqrt{3}} \arctan{ \left [\frac{\sqrt{3}}{2 \cot{\left (\frac{13 \pi}{4} \right )+1}} \right ] } = \frac{2 }{13 \sqrt{3}} \left ( 2 \pi+\frac{\pi}{6}\right ) = \frac{\pi}{3 \sqrt{3}} $$

Answer 3

Aquí es una alternativa a la prueba de los resultado, ya publicado por @Daniel Fisher, que la identidad sólo se aplica para$n=1$$n=2$. Mi excusa para publicar esto es que el enfoque de abajo es más simple, en realidad se requiere el valor de ninguna de estas integrales.

Considerar las integrales $$ a=\int_0^{\pi/2}\frac{\mathrm dx}{2+\sin x},\qquad b=\int_{-\pi/2}^0\frac{\mathrm dx}{2+\sin x}, $$ y tenga en cuenta que, la función del seno ser positivo en $(0,\frac\pi2)$ y negativa en $(-\frac\pi2,0)$, $$ un\lt \frac\pi4\lt b. $$ La desigualdad de $a\lt b$, y la periodicidad de la función seno, son acerca de todo lo que se necesita saber.

Para cada $n$, el cambio de variable $x\to nx$ muestra que $$ \int_0^{\pi/2}\frac{\mathrm dx}{2+\sin(nx)}=\frac1n\sum_{k=1}^n\int_{(k-1)\pi/2}^{k\pi/2}\frac{\mathrm dx}{2+\sin x}. $$ Debido a la periodicidad de la función seno, la de las integrales en la suma de $k$ son alternativamente $$ un,\quad a,\quad b,\quad b,\quad a,\quad a,\quad b,\quad b,\quad a,\ldots $$ por lo tanto el lado derecho, que es el baricentro de la $n$ primeros, es, al menos, $a$ por cada $n\geqslant1$ y es igual a $a$ si y sólo si ninguna parte igual a $b$ está involucrado, es decir, para$n=1$$n=2$.

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En aras de la exhaustividad, podemos mencionar que los valores $$ a=\frac{\pi}{3\sqrt3},\qquad b=\frac{2\pi}{3\sqrt3}, $$ permiten calcular las integrales de interés para cada $n\geqslant1$, por ejemplo, el $42$ primera de las integrales se $22$ veces $a$ $20$ veces $b=2a$ por lo tanto $$ \int_0^{\pi/2}\frac{\mathrm dx}{2+\sin(42\cdot x)}=\frac{22\cdot a+20\cdot b}{42}=\frac{22+20\cdot 2}{42}\,a=\frac{31}{21}\cdot\frac{\pi}{3\sqrt3}. $$

Answer 4

Aunque el problema ha sido resuelto por un método diferente, que se presentan aquí.

El problema pide a encontrar que los valores de $n$ que satisfacer \begin{align} \int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{2 + \sin(nx)} = \int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{2 + \sin(x)} = \frac{\pi}{3 \sqrt{3}}. \end{align}

La solución propuesta es la siguiente.

Considere la integral \begin{align} I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{a + \sin(nx)}. \end{align} La integral de la $I$ puede ser evaluado como \begin{align} I &= \left[ \frac{2}{ \sqrt{a^{2}-1} \ n } \tan^{-1} \left( \frac{a \tan\left(\frac{nx}{2}\right) + 1} { \sqrt{a^{2}-1}} \right) \right]_{0}^{\pi/2} \\ &= \frac{2}{\sqrt{a^{2}-1} \ n } \left[ \tan^{-1} \left( \frac{a \tan\left(\frac{n\pi}{4}\right) + 1} { \sqrt{a^{2}-1}} \right) - \tan^{-1} \left( \frac{1}{ \sqrt{a^{2}-1}} \right) \right] \\ &= \frac{2}{\sqrt{a^{2}-1} \ n } \tan^{-1} \left( \frac{ \sqrt{a^{2}-1} \ \theta_{n} }{ a + \theta_{n}} \right) \\ I &= \frac{2}{\sqrt{a^{2}-1} \ n } \tan^{-1} \left( \frac{ \sqrt{a^{2}-1} }{ a/\theta_{n} + 1} \right), \end{align} donde $\theta_{n} = \tan(n\pi/4)$. Ahora, volviendo a la integral original, hacer la sustitución $x = \pi/2 -u$ obtener \begin{align} I &= \int_{0}^{\pi/2} \frac{du}{a + \sin(\frac{n \pi}{2} - nu)} \\ &= \int_{0}^{\pi/2} \frac{du}{a + \sin\left(\frac{n \pi}{2}\right) \cos(n u) - \cos\left( \frac{n \pi}{2}\right) \sin(n u)} \end{align} para los que si la integral es permanecer de la misma forma, entonces es necesario que \begin{align} \sin\left( \frac{n \pi}{2} \right) &= 0 \\ \cos\left( \frac{n \pi}{2} \right) &= -1. \end{align} Desde el seno de la ecuación se ve que es satisfecho si $n = 2r$$r \geq 0$. El coseno la ecuación se satisface si $n = 4k+2$$k \geq 0$. Es evidente que $2,6,10,\cdots$ es un subconjunto de valores en el conjunto definido por $2r$$r \geq 0$. Ya que ambas ecuaciones son satisfechos por el subconjunto de valores, esto conduce a los valores permitidos de $n$ para que la integral que queda de la misma forma se $n = 4k+2$$k \geq 0$. Esto puede ser visto como \begin{align} \int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{a + \sin((4k+2)x)} = \int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{a + \sin(x)}, \end{align} para $k \geq 0$.

Ahora, con esta $n$ valor, se observa que el $\theta_{n}$ se convierte en \begin{align} \theta_{4k+2} &= \tan\left( \frac{(4k+2) \pi}{4} \right) = \tan\left( k \pi + \frac{\pi}{2} \right) \\ &= \frac{ \sin(k \pi + \pi/2) }{ \cos(k \pi + \pi/2) } = \frac{ (-1)^{k} }{ 0 } = \infty . \end{align} para que $1/\theta_{4k+2} = 0$. Usando este resultado en la evaluación de la integral definida anteriormente proporciona \begin{align} I = \frac{2}{\sqrt{a^{2}-1} \ (4k+2) } \tan^{-1}( \sqrt{a^{2}-1} ). \end{align} Por lo tanto, \begin{align} \int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{a + \sin((4k+2)x)} &= \int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{a + \sin(x)} \\ &= \frac{1}{\sqrt{a^{2}-1} \ (2k+1) } \tan^{-1}( \sqrt{a^{2}-1} ), \end{align} para $k \geq 0$.

Al $a=2$ la reducción conduce a \begin{align} \int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{2 + \sin((4k+2)x)} &= \frac{ \tan^{-1}( \sqrt{3} ) }{\sqrt{3} \ (2k+1) } \\ &= \frac{ \tan^{-1}( \tan(\pi/3) ) }{\sqrt{3} \ (2k+1) } = \frac{\pi}{3 \sqrt{3} \ (2k+1) }. \end{align} Ahora es evidente que el único valor de $k$ que satisface el resultado deseado es $k=0$.

Por lo tanto, en términos de la notación original, los únicos valores de $n$ son 1 y 2.