Homotopical clases de asignaciones $\mathbb{CP}^n \to \mathbb{CP}^m$

Question

¿Cuáles son las clases de homotopía de asignaciones $\mathbb{CP}^n \to \mathbb{CP}^m$ $n < m$?

En caso real , incluso para cualquier celular complejo $X$ con $\dim X<m$ homotopía clases de asignaciones $X \to \mathbb{RP}^m$ están en biyección con $H^1 (X, \pi_1(\mathbb{RP}^m)=\mathbb Z_2)$: la razón es que universal que cubre el $S^m \to \mathbb{RP}^m$ tiene solamente células de dimensiones 0 y m.

Answer 1

Observe que cualquier mapa $\mathbb{CP}^{n} \rightarrow \mathbb{CP}^{\infty}$ puede ser bajada al $2n$-esqueleto de $\mathbb{CP}^{\infty}$, debido a la aproximación de celular.

Esto establece una biyección entre las clases de homotopía de mapas

$[\mathbb{CP}^{n}, \mathbb{CP}^{\infty}] \simeq [\mathbb{CP}^{n}, \mathbb{CP}^{m}]$

% de todos $m \geq n$. El lado izquierdo ahora admite una multitud de descripciones, una de ellas que es $H^{2}(\mathbb{CP}^{n}, \mathbb{Z})$, $\mathbb{CP}^{\infty}$ es el espacio clasificando para paquetes de línea compleja.