El representante "canónico" de un tipo de orden

Question

Un ordinal (en von Neumann sense ) puede pensarse como el representante "canónico" de la tipo de orden (es decir, de la clase de todos los conjuntos isomórficos de orden) de un conjunto bien ordenado. Esto es muy conveniente, porque hace que un ordinal sea un conjunto (lo que le permite ser un elemento de un conjunto en ZFC ).

¿Existe un enfoque similar que permita asignar el representante "canónico" al tipo de orden de cada conjunto totalmente ordenado, o incluso de cada conjunto parcialmente ordenado?

Answer 1

Aunque no tengo una respuesta concreta, la siguiente observación puede ser útil:

Suponiendo que Elección global la respuesta es trivialmente sí. Puede realizar el truco de Scott en clases de equivalencia de tipo de orden y elegir el representante en consecuencia.

Asumiendo el axioma de elección, siempre es posible asignar una colección de conjuntos de tipos de orden. Este conjunto se puede hacer tan grande como se quiera, sin embargo no se garantiza que tengamos una clase de representantes.

Los ordinales son definibles en ZF (sin el axioma de elección en absoluto) debido a los axiomas de von Neumann de fundamento y esquema de sustitución (ambos atribuidos a Frankael y Skolem). Esto permite la definición única de tipos de buen orden utilizando transitivos $\in$ conjuntos ordenados.

Por otra parte, no hay forma de definir órdenes parciales generales en ZF o incluso en ZFC de manera que resulte un representante definible para cada clase.

Al igual que la prueba de Jech de que sin el axioma de elección es posible tener un modelo de ZF que tenga un conjunto de cardinalidades (definidas según el truco de Scott) que no tenga elección definible de representantes, yo creería que tal prueba sería posible de conseguir mediante forzamiento en ZFC.

Es inmediato que tal afirmación sea probablemente independiente de ZFC, ya que V=L implica Elección Global, que a su vez implica que existe un representante canónico. Sin embargo, si es posible construir un modelo en el que exista una clase de tipos de orden sin representantes definibles (y creo firmemente que es posible), entonces es independiente de ZFC.