Fijar una celda de 2 por una palabra

Question

En ejemplo 2.36 en topología de Pg 141 de Hatcher algebraica, escribe:... una celda de 2 por medio de conmutadores $[a_1,b_1] \ldots$

Puede alguien por favor explicarme lo que significa colocar una celda de 2 por una palabra. Supongo que significa que el mapa atadura puede venir dado por una palabra en un grupo libre. Sin embargo, no puedo hacer sentido de esto.

Gracias por su tiempo.

Answer 1

Usted comienza con una cuña de $2g$ orientado a los círculos, marcadas por $a_i,b_i$. A continuación, cada letra de la palabra corresponde a la pegadura parte de la frontera de los 2-celda para que $1$-célula, en la orientación prescrito por si tiene la carta o su inverso. Usted obtener la palabra completa viajando por el límite de la $2$-célula.

También, mira la foto en la página 5 de Hatcher. Esto explica la construcción en detalle. Por ejemplo, el género 3 superficie en la foto no tiene palabra $[a,b][c,d][e,f]$ como viajar alrededor del límite de la $2$-célula.

Edit: Aquí está un real formua en el caso de el toro. Tenemos dos círculos identificado en un punto. Dejarlos ser parametrizada por $\theta_1$ $\theta_2$ respectivamente, donde $\theta_1,\theta_2\colon[0,2\pi]\to S^1$, con un punto de base $\theta_1(0)=\theta_2(0)$. Bien, ahora a pensar en el $2$-la célula como una unidad cuadrada de $[0,1]\times[0,1]$. La función de los límites de la plaza a la cuña de dos círculos es dada por

$$(0,y)\mapsto \theta_2(2\pi y),\,\,\,\, (1,y)\mapsto \theta_2(2\pi y)$$ $$ (x,0)\mapsto\theta_1(2\pi x),\,\,\,\,\, (x,1)\mapsto\theta_1(2\pi x)$$

Answer 2

Yo creo que simplemente necesitan más familiaridad con la noción general de la contigüidad de los espacios de la forma $B \cup _fX$ donde $f: A \to B$ $A$ es un subespacio cerrado de $B$, con inclusión de $i: A \to B$. La propiedad más importante de esto es que la plaza de mapas

$$\begin{matrix} A & \to & B \\ \downarrow&& \downarrow\\ X &\to& B \cup _fX \end{de la matriz}$$ es un pushout, es decir, se puede construir en una manera única de funciones continuas $B \cup _fX \to Y$, dando un par de funciones $g: X \to Y, h: B \to Y$ tal que $gi= hf$. De esta manera usted no necesita visualizar $B \cup_fX$, aunque un par de ejemplos simples son útiles, ya que esta es la forma en que los usamos. Ver mi libro "Topología y groupoids".

En el caso $A=S^1$, $X= E^2$ a continuación, un mapa de $f: A \to B$ representa un elemento de $\pi_1(B)$, y si este es un grupo libre, a continuación, sus elementos pueden ser escritas como las palabras en los generadores.

5 de octubre: Más puede ser explicado a través de un ejemplo. Supongamos $K$ es la Botella de Klein obtenidos en la forma habitual como una identificación de un cuadrado de $\sigma$ con los lados a fin de $a,b,-a,b$. Nos gustaría escribir $$\partial \sigma = a+b-a+b.$$ El lado derecho es claramente un elemento de la libre grupo en dos generadores $a,b$ que corresponden a los dos círculos de la $1$-esqueleto $K^1$ de la Botella de Klein. Pero ¿cuál es el lado izquierdo, y ¿qué es $\partial$?

Resulta que esto es $\partial : \pi_2(K,K^1,v) \to \pi_1(K^1,v)$ , que este tiene la estructura de cruzado módulo, y la segunda relativa homotopy grupo es el libre cruzado módulo en un generador de $\sigma$.

Este resultado no es tan fácil de probar, pero es el inicio de la elevación de la nonabelian ideas del grupo fundamental y groupoid para la dimensión de $2$. Ver el libro (con free pdf) anuncian aquí.