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¿He tomado la derivada correctamente? $x^y=y^x$

Necesidad de diferenciar la siguiente ecuación: $$x^y=y^x$$ Mi intento: $$x^y\log(x) \cdot y' = y^x\log(y)\cdot1; $$ $$y'=\frac{y^x\log(y)}{x^y\log(x)}$$ Por favor, dígame si me he equivocado.

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Ahaan S. Rungta Puntos 6129

No del todo. La idea es tomar el $\log$ de ambos lados y diferenciar implícitamente. $$ \begin {eqnarray*} x^y &=& y^x \\ y \cdot \log (x) &=& x \cdot \log (y) \\ y' \cdot \log(x) + \dfrac {y}{x} &=& \dfrac {x}{y} \cdot y' + \log (y) \\ y' \cdot \left( \log(x) - \dfrac {x}{y} \right) &=& \log(y) - \dfrac {y}{x} \\ y' &=& \dfrac {\log (y) - \dfrac {y}{x}}{\log (x) - \dfrac {x}{y}}, \end {eqnarray*} $$ así que nuestra respuesta es $$ y' = \boxed {\dfrac {x \cdot \log (y) - y}{y \cdot \log (x) - x} \cdot \dfrac {y}{x}}. $$

9voto

John Hughes Puntos 27780

Sólo para que sepas dónde te equivocaste: fue al diferenciar el lado derecho. Usted está tratando de encontrar

$ \frac{d}{dx} y^x $

y aplicando la regla de que

$ \frac{d}{dx} a^x = a^x \ln (a), $

con $y$ sustitución de $a$ . Lamentablemente, esa "norma" sólo se aplica en el caso de que $a$ es una constante; en su problema, la base $y$ es en realidad una función de $x$ por lo que la regla no se aplica. Por lo tanto, para calcular correctamente la derivada, hay que reescribir $y^x = e^{x \ln (y)}$ como ya han demostrado otros.

-1voto

Brian Peterson Puntos 385

$ y^x = x^y $

$ \ln y^x = \ln x^y$

$x \ln y = y \ln x $

$\ln y + (x/y)(dy/dx) = (dy/dx)(ln x) + y/x $

$(x/y)(dy/dx) - (dy/dx)(\ln x) = y/x - \ln y $

$(dy/dx)(x/y - \ln x) = y/x - \ln y $

$(dy/dx) = (y/x - \ln y)/(x/y - \ln x)$

$(dy/dx) = (y^2 - xy\ln y)/(x^2 - xy\ln x)$

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