Necesidad de diferenciar la siguiente ecuación: $$x^y=y^x$$ Mi intento: $$x^y\log(x) \cdot y' = y^x\log(y)\cdot1; $$ $$y'=\frac{y^x\log(y)}{x^y\log(x)}$$ Por favor, dígame si me he equivocado.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?No del todo. La idea es tomar el $\log$ de ambos lados y diferenciar implícitamente. $$ \begin {eqnarray*} x^y &=& y^x \\ y \cdot \log (x) &=& x \cdot \log (y) \\ y' \cdot \log(x) + \dfrac {y}{x} &=& \dfrac {x}{y} \cdot y' + \log (y) \\ y' \cdot \left( \log(x) - \dfrac {x}{y} \right) &=& \log(y) - \dfrac {y}{x} \\ y' &=& \dfrac {\log (y) - \dfrac {y}{x}}{\log (x) - \dfrac {x}{y}}, \end {eqnarray*} $$ así que nuestra respuesta es $$ y' = \boxed {\dfrac {x \cdot \log (y) - y}{y \cdot \log (x) - x} \cdot \dfrac {y}{x}}. $$
Sólo para que sepas dónde te equivocaste: fue al diferenciar el lado derecho. Usted está tratando de encontrar
$ \frac{d}{dx} y^x $
y aplicando la regla de que
$ \frac{d}{dx} a^x = a^x \ln (a), $
con $y$ sustitución de $a$ . Lamentablemente, esa "norma" sólo se aplica en el caso de que $a$ es una constante; en su problema, la base $y$ es en realidad una función de $x$ por lo que la regla no se aplica. Por lo tanto, para calcular correctamente la derivada, hay que reescribir $y^x = e^{x \ln (y)}$ como ya han demostrado otros.