¿Cómo puedo demostrar $\frac{2xy}{x+y}\leq \sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}$

Question

para $x,y>0$ demostrar que

$\frac{2xy}{x+y}\leq \sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}$

He tratado de desarrollar $(x+y)^2=$ y para llegar a una expresión que debe ser mayor que las anteriores

Gracias.

Answer 1

$\sqrt{xy} \le \dfrac{x + y}{2}$ es sólo el Desigualdad AM-GM . $\dfrac{2xy}{x + y} \le \sqrt{xy}$ es también la desigualdad AM-GM aplicada a $1/x$ , $1/y$ .

Answer 2

Por ejemplo

$$\frac{2xy}{x+y}\le\sqrt{xy}\iff 4x^2y^2\le xy(x^2+2xy+y^2)\iff$$

$$ \iff xy(x^2+2xy+y^2-4xy)\ge 0\iff xy(x-y)^2\ge 0$$

Y como la última desigualdad de la derecha es obvia, hemos terminado.

Answer 3

Para la 1ª , $(x+y)/2 \ge \sqrt{xy}$

$x+y\ge 2*\sqrt{xy}$

$(\sqrt{x})^2+(\sqrt{y})^2-2*\sqrt{xy}\ge0$

$(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\ge0$ ---->>> DONE

Para el 2º :

$x+y\ge 2xy/\sqrt{xy}$

$x+y\ge 2*\sqrt{xy}$ --> este es el que se acaba de demostrar arriba dividiendo ambos lados por 2.

Answer 4

Comience por notar que desde $(x-y)^2 \geq 0$ entonces $x^2 - 2xy +y^2 \geq 0$ lo que implica que $x^2+y^2 \geq 2xy$ . Ahora atacamos estas desigualdades de una en una.

Para mostrar la desigualdad de la izquierda, podemos mostrar $2xy \leq (x+y)\sqrt{xy}$ y como todo es positivo podemos elevar al cuadrado ambos lados y reducir aún más el problema a mostrar $4x^2 y^2 \leq(x^2+2xy+y^2)(xy)$ . Entonces, como $x^2+y^2 \geq 2xy$ tenemos $(x^2+2xy+y^2)(xy) \geq 4xy(xy) = 4x^2y^2$ que es exactamente lo que querías mostrar.

Para mostrar la desigualdad correcta elevaremos de nuevo al cuadrado ambos lados y reduciremos el problema a mostrar $xy \leq \frac{1}{4}(x^2 + 2xy +y^2)$ . Para ello volvemos a utilizar que $x^2+y^2 \geq 2xy$ . Por lo tanto, $\frac{1}{4}(x^2+2xy+y^2) \geq \frac{1}{4}(4xy) = xy$ que es de nuevo la desigualdad que querías mostrar.