Deje$H_{1}, H_{2}$ ser subgrupos de$G$ satisfactorio,$H_{1}\leq H_{2}\leq G$. Es fácil probar que$\bigcup_{i=1}^{2}H_{i}$ es un subgrupo de G. Considere una cadena ascendente infinita de subgrupos de G, es decir,$H_{1}\leq H_{2}\leq \cdots$.
Sé que al fijar un$n\in \mathbb{N}$ podemos mostrar que la unión de los primeros subgrupos$n$ es nuevamente un subgrupo de$G$. ¿Es significativo hablar sobre la unión de tales grupos? ¿Y es posible extender esto al infinito caso?
Más en general, vamos a $I$ ser un conjunto de índices de arbitrario no nulo de cardinalidad, y supongamos que para cada $\alpha\in I$, $H_\alpha$ es un subgrupo de $G$.
Supongamos también que para cualquier $\alpha, \beta \in I$, $H_\alpha \subseteq H_\beta\,$ o $\,H_\beta \subseteq H_\alpha$. A continuación, $\bigcup_\alpha H_\alpha$ es un subgrupo de $G$.
La pregunta que se formuló ha $I=\mathbb{N}$, e $H_m \subseteq H_n$ si $m \le n$.
La prueba es sencilla. En primer lugar demostrar que si $u$$v$$\bigcup_\alpha H_\alpha$,$uv\in \bigcup_\alpha H_\alpha$.
Desde $u \in \bigcup_\alpha H_\alpha$, hay un índice de $\beta$ tal que $u \in H_\beta$. Del mismo modo, $v \in H_\gamma$ algunos $\gamma\in I$. Por nuestra condición en el$H_\alpha$, $H_\beta \subseteq H_\gamma$ o $H_\gamma \subseteq H_\beta$. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que la $H_\beta \subseteq H_\gamma$. A continuación, $u$ $v$ están en $H_\gamma$, y por lo tanto también lo es su producto $uv$. De ello se desprende que $uv \in \bigcup_\alpha H_\alpha$.
Las otras cosas que tenemos que comprobar es más fácil. La unidad de elemento (de $G$) está en todas las $H_\alpha$, por lo que es en su unión. También, si $x \in \bigcup_\alpha H_\alpha$, $x \in H_\beta$ algunos $\beta$, lo $x^{-1} \in H_\beta$, y por lo tanto $x^{-1} \in \bigcup_\alpha H_\alpha$.
Comentario: La condición de que para todos los $\alpha, \beta \in I$, $H_\alpha \subseteq H_\beta\,$ o $\,H_\beta \subseteq H_\alpha$ puede ser debilitada. Todo pasa por si para todas las $\alpha, \beta \in I$, hay un $\gamma \in I$ tal que $H_\alpha \subseteq H_\gamma\,$ e $\,H_\beta \subseteq H_\gamma$.
Sí. De la unión de una cadena infinita de subgrupos es de nuevo un subgrupo. Esto también funciona para subrings, subespacios, de hecho, la mayoría de cada sub-cosa.
Supongamos $H_i$ es un subgrupo de $G$ por cada $i=1,2,\dots$ y, además, supongamos que el $H_i \subseteq H_{i+1}$ por cada $i$.
Deje $H=\cup_{i=1}^\infty H_i$. Este es sin duda un subconjunto no vacío de a $G$. A continuación, vamos a $a,b \in H$. Esto significa $a \in H_i$ algunos $i$ $b \in H_j$ algunos $j$. Cualquiera de las $i<j$ $H_i \subseteq H_j$ y, por lo tanto, $a$ $b$ $H_j$ o vice-versa: $j<i$ y ambos elementos están en $H_i$. Supongamos que ambos están en $j$. Entonces así es $ab$ $a^{-1}$ desde $H_j$ es un subgrupo. Por lo tanto, $ab,a^{-1} \in H_j \subseteq \cup_{k=1}^\infty H_k=H$. Por lo tanto, $H$ es un subgrupo de $G$.
Es fácil ver por qué este tipo de argumento debe trabajar en muchos contextos diferentes. También, tenga en cuenta que el conjunto de índices "$1,2,\dots$" puede ser reemplazado por cualquier totalmente conjunto ordenado o parcialmente ordenado conjuntos tales que para todos los $i,j$ hay $k$ tal que $i,j \leq k$.
He aquí un ejemplo: podemos stick $S_n$ dentro $S_m$ cualquier $n<m$. Todos estos grupos simétricos pueden ser vistos como los subgrupos de $S_\infty$ (permutaciones de $\mathbb{Z}_{>0}={n \in \mathbb{Z} \,|\, n \geq 0 }$). El subgrupo llegamos $S = \cup_{i=1}^\infty S_i$ es el conjunto de todas las permutaciones de la fijación de todos, pero un número finito de enteros positivos.
Este es un ejemplo de un fenómeno bastante general. Deje $G$ ser de cualquier grupo, y vamos a $\mathscr{H}$ ser una cadena de subgrupos de $G$, lo que significa que para cualquier $H_0,H_1\in\mathscr{H}$, $H_0\subseteq H_1$ o $H_1\subseteq H_0$. A continuación, $H=\bigcup\mathscr{H}$ es un subgrupo de $G$.
Ciertamente,$H\subseteq G$. Ahora supongamos que $h_0,h_1\in H$; para mostrar que $H \le G$, debemos mostrar que $h_0h_1,h_0^{-1}\in H$. Desde $h_0\in H$, debe haber alguna $H_0\in\mathscr{H}$ tal que $h_0\in H_0$. $H_0$ es un subgrupo de $G$, lo $h_0^{-1}\in H_0 \subseteq H$, como se desee. De manera similar, deben ser algunas de las $H_1\in\mathscr{H}$ tal que $h_1\in H_1$. Desde $\mathscr{H}$ es una cadena, $H_0 \subseteq H_1$ o $H_1 \subseteq H_0$. Sin pérdida de generalidad $H_0 \subseteq H_1$, en cuyo caso $h_0,h_1\in H_1$. Pero $H_1$ es un subgrupo de $G$, lo $h_0h_1\in H_1 \subseteq H$, y la prueba de que $H\le G$ es completa.
Aviso que lo que hizo este trabajo es que cada una de las condiciones que tuvo que ser revisado participan sólo finitely muchos de los elementos de $H$. En concreto, fueron el cierre de las condiciones de la siguiente forma:
$$\text{If }h_0,\dots,h_n \in H,\text{ then }\phi(h_0,\dots,h_n)\in H.\tag{1}$$
Supongamos que $S$ es cualquier estructura con la propiedad de que un subconjunto $H$ $S$ es una subestructura de la fib cumple una lista de la condición de la forma $(1)$. Entonces si $\mathscr{H}$ es una cadena de subestructuras de $S$, e $H = \bigcup\mathscr{H}$, el mismo tipo de argumento que he utilizado para el grupo $G$ mostrará que $H$ es una subestructura de $S$:
Si $h_0,\dots,h_n\in H$, existen subestructuras $H_0,\dots,H_n \in \mathscr{H}$ tal que $h_k\in H_k$$k=0,\dots,n$. El $H_k$ $k=0,\dots,n$ son linealmente ordenado por $\subseteq$, por lo que uno de ellos contiene todos los demás. Dejar que un ser $H_i$. A continuación,$h_0,\dots,h_n\in H_i$, y desde $H_i$ es una subestructura de $S$, es cerrado bajo la función de $\phi$, y, por tanto,$\phi(h_0,\dots,h_n)\in H_i \subseteq H$.
Esto es posible, y la manera de hacerlo se hace preciso el uso de la noción de un colimit (más específicamente, un límite). Este es un general categórica de la construcción, y le da una forma de tomar un diagrama de grupos, y escupir a otro grupo de una manera significativa.
En su caso, el diagrama que estamos viendo es $H_1\to H_2\to H_3\to\cdots$, donde las flechas son la inclusión de mapas. El colimit de este diagrama será un grupo de $G$ de tal manera que tenemos los mapas de $H_i\to G$ todos los $i$ tal que el diagrama que contiene nuestro diagrama original de $H_i$'s junto con todos los mapas en $G$ viajes. Es universal en el sentido de que si tenemos cualquier otro conjunto de mapas de $H_i\to K$ de manera tal que el mismo big diagrama conmuta, entonces existe un único mapa $G\to K$ haciendo todo lo que conmutan.
En la categoría de conjuntos, si tenemos las inclusiones $X_1\subseteq X_2\subseteq X_3\subseteq\cdots$, entonces el colimit de este diagrama es $\bigcup_{i=1}^\infty X_i$. Vale la pena señalar que si cada uno de los grupos de $H_i$ es un subgrupo de un grupo,$G$, entonces, como un conjunto, este colimit será sólo el de la unión.
Si desea un ejemplo de este tipo de colimit donde todos los grupos no viven en el interior de algunos de los grupos grandes, considere la posibilidad de que las inclusiones $$\mathrm{GL}_1(F)\to\mathrm{GL}_2(F)\to\mathrm{GL}_3(F)\to\cdots$$ cuando las flechas son de inclusiones en la esquina superior izquierda. El colimit de este diagrama es $\mathrm{GL}_\infty(F)$, y aparece en la topología algebraica.
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