secuencia $a_n =\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\frac{(n-k)^k}{k!}$ ¿convergen o divergen?

Question

Cómo comprobar esa secuencia $$a_n =\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\frac{(n-k)^k}{k!}$$ ¿es convergente o divergente?

Answer 1

Desde entonces, $$\displaystyle \begin{align} f(z) = \dfrac{1}{1-ze^{-z}} = \sum_{k=0}^{\infty} z^k.e^{-kz} &= \sum_{k=0}^{\infty} z^k.\left(\sum_{j=0}^{\infty} (-1)^{j} \dfrac{k^{j}}{j!}z^j\right) \\&= \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty} (-1)^j \dfrac{k^j}{j!}z^{k+j}\end{align}$$

Cambiando la suma con $n = j+k$ :

$$ = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\sum_{j=0}^{n-1}(-1)^{k}\dfrac{(n-j)^j}{j!}\right)z^n = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$$

Entonces, $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n$ converge y a su vez $a_n \to 0$ , si $f(z)$ es analítica en un disco centrado en el origen y de radio mayor que $1$ .

Por lo tanto, basta con demostrar que toda singularidad de $f(z)$ aparece fuera del disco de la unidad $|z| > 1$ .

Supongamos que existe una singularidad de $f(z)$ dentro del disco $|z| \le 1$ , digamos que en $z = z_0 = x_0 + iy_0$ ,

entonces, $z_0 = e^{z_0} \iff x_0 + iy_0 = e^{x_0 + iy_0} = e^{x_0}(\cos y_0 + i\sin y_0)$ donde, $x_0^2 + y_0^2 \le 1$

es decir, $x_0 = e^{x_0}\cos y_0 \textrm{ and } y_0 = e^{x_0}\sin y_0 \implies x_0 = \frac{y_0}{\tan y_0} > 0$ (desde, $|y_0| \le 1 < \frac{\pi}{2}$ )

Por lo tanto, $1 \ge |z_0| = e^{x_0}|e^{iy_0}| = e^{x_0} > 1$ contradicción.

Por lo tanto, $f(z)$ es analítico en un disco $|z| > 1$ .

Por lo tanto, $\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\frac{(n-k)^k}{k!} = 0$ .