¿Grupo generado de manera tal que todos los subgrupos normales (no triviales) tienen un índice finito implica que todos los subgrupos (no triviales) tienen un índice finito?

Question

Deje $G$ ser un finitely generado grupo de manera que todos los no-trivial normal subgrupo finito de índice. De lo anterior se sigue que todos los no-trivial subgrupo de $G$ ha finito índice?

Esta pregunta se planteó como un lado de la novedad de otro problema en el que estaba trabajando. Creo que es interesante por derecho propio, pero no puedo por la vida de probar o encontrar un contra-ejemplo. Este sería cortar y secar si yo sabía que todo no-trivial subgrupo contenidos no trivial de la normal subgrupo, pero no veo cómo conseguir que. Como lo que yo puedo decir, no tengo garantizar el normal núcleo no es trivial.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Contraejemplo: Vamos a $G$ ser el infinito diedro grupo, es decir, $$ G = \langle a,x : x^2=e, xax=a^{-1} \rangle. $$ Nota: $\langle a\rangle \cong \mathbb{Z}$ es un subgrupo normal de índice $2$. Deje $N$ ser un trivial normal subgrupo de $G$. Si $a^k\in N$ cualquier $k\neq 0$, $N$ contiene un subgrupo de $\langle a \rangle$ de índice finito, por lo tanto $N$ debe tener finito índice en $G$.

Ahora supongamos $xa^k \in N$ algunos $k$ (nota: $k$ puede ahora ser $0$). Entonces como $N$ es normal, $N$ debe contener $$ a(xa^k)^{-1} = xa^{k-2}. $$ A continuación, $N$ debe contener $$ (xa^k)(xa^{k-2}) = a^{-2}, $$ y, por tanto, $N$ ha finito índice por el argumento anterior. Pero el uso de la relación $xax=a^{-1}$ (a través de $xa=a^{-1}x$), cada elemento no trivial de $G$ puede ser escrito como $a^k$ $k\neq 0$ o $xa^k$ cualquier $k$.

Así que cada trivial normal subgrupo de $G$ ha finito índice. Pero el subgrupo $\langle x \rangle \cong \mathbb{Z}/2$ no tiene índice finito.

Answer 2

Como se ha mencionado, los grupos para que cada trivial normal subgrupo finito de índice son muy comunes (si es infinito, se les conoce como "infinito" y son simple grupos y muchos más).

Por otro lado, los grupos con todos los no-trivial subgrupos de índice finito son muy raros: $G$ es finito, o es isomorfo a $\mathbf{Z}$.

En efecto, supongamos que un grupo de $G$ es infinito. Deje $C$ ser un trivial subgrupo cíclico. El supuesto implica que la $C$ ha finito índice, por lo tanto es infinito. Por lo tanto $G$ tiene un índice finito subgrupo isomorfo a $\mathbf{Z}$; pero el argumento también muestra que $G$ es de torsiones. Ahora se sabe que una de torsiones grupo con una infinita cíclico subgrupo de índice finito es siempre infinito cíclico (hecho general sobre las 2 de la composición de los grupos).

Answer 3

Después de investigar un poco, encontré este contraejemplo, pero los detalles pasaron por mi cabeza.

Considere el grupo de Thompson$T$. Satisface la hipótesis: en particular, es simple, por lo que satisface el requisito (casi) de manera vacua. Entonces,$F\leq T$ donde$F$ es otro grupo de Thompson. Ahora tenemos$F/F^{\prime}=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$, entonces$F^{\prime}$ es un subgrupo de$F$ sin índice finito. Por lo tanto,$T$ tiene un subgrupo que no es un índice finito.

Answer 4

Otro ejemplo es$G=PSL(n,Z)$,$n\ge 3$. La razón es el teorema de los subgrupos normales de Margulis . Entonces, cada subgrupo normal no trivial de$G$ tiene índice finito, pero$G$ tiene muchos subgrupos de índice infinito (por ejemplo, subgrupos que se pueden resolver y también subgrupos libres).