ecuación integral

Question

Tal como se presenta en el título de la pregunta, deseo encontrar una función$\lambda(\cdot): [0, \infty) \to [0, \infty)$ que satisfaga la ecuación integral:

\begin{equation} \frac{1}{\lambda(y)} = c_1 \int_0^\infty \lambda(x) \exp(-c_2 y x) \, dx \end{equation}

donde$c_1$ y$c_2$ son constantes positivas.

Lamentablemente, no tengo una idea clara sobre cómo abordar sistemáticamente esta cuestión. ¡Cualquier ayuda es muy apreciada!

Answer 1

Permítanme mostrar que no hay tal función existe. Sostenemos esta contradicción. Suponga que existe una función de $\lambda : [0, \infty) \to [0, \infty)$ satisfactorio

$$ \frac{1}{\lambda(s)} = c_1 \int_{0}^{\infty} \lambda(x) e^{-c_2 sx} \, dx \quad \forall s \geq 0 \tag{*}$$

con el convenio que $1/0 = \infty$. Entonces

Paso 1. En este paso, nos normalizar $\lambda$ y revelan algunos datos útiles.

• Desde el lado de la derecha de $\text{(*)}$ está disminuyendo, $\lambda$ es cada vez mayor.

• Desde el lado de la mano izquierda de $\text{(*)}$ es siempre positiva (o posiblemente infinita), $\lambda$ no puede ser idéntica a cero.

• A partir de estas dos propiedades, $\alpha$ definido por $$ \alpha := \inf \{ s > 0 : \lambda(s) > 0 \} $$ Es un no-cero número real tal que $\lambda(s) = 0$ todos los $s \in [0, \alpha)$. Por otra parte, si $\alpha > 0$, a continuación, la versión modificada $\tilde{\lambda}(s) = e^{-c_2 \alpha s}\lambda(s+\alpha)$ satisface \begin{align*} \frac{1}{\tilde{\lambda}(s)} = \frac{e^{c_2 \alpha s}}{\lambda(s+\alpha)} &= c_1 e^{c_2 \alpha s} \int_{\alpha}^{\infty} \lambda(x) e^{-c_2 (s+\alpha) x} \, dx \\ &= c_1 e^{c_2 \alpha s} \int_{0}^{\infty} \lambda(x+\alpha) e^{-c_2 (s+\alpha)(x+\alpha)} \, dx \\ &= c_1 e^{-c_2 \alpha^2} \int_{0}^{\infty} \tilde{\lambda}(x) e^{-c_2 sx} \, dx. \end{align*} Así que cambiando el valor de $c_1$ si es necesario, podemos suponer que la $\alpha = 0$. Entonces por @guestDiego's cálculo, que además puede suponer que $c_1 = c_2 = 1$ y nosotros lo hacemos.

• Si $\lambda(0) > 0$, luego $$ \infty > \frac{1}{\lambda(0)} = \int_{0}^{\infty} \lambda(x) \, dx \geq \int_{0}^{\infty} \lambda(0) \, dx = \infty $$ y llegamos a una contradicción. Por lo tanto $\lambda(0) = 0$.

• De la teoría estándar de la transformada de Laplace, si $f \geq 0$ es medible y $$\mathcal{L}\{f\}(s) := \int_{0}^{\infty} f(x)e^{-sx} \, dx$$ Es finita para todas las $s > 0$, $\mathcal{L}\{f\}(s)$ converge para $\Re(s) > 0$ y define una analítica de la función en la misma región. Por otra parte, la diferenciación puede ser calculada mediante el uso de Leibniz integral de la regla: $$ \frac{d^n}{ds^n} \mathcal{L}\{f\}(s) = (-1)^n \int_{0}^{\infty} x^n f(x) e^{-sx} \, dx. $$

Paso 2. Ahora estamos listos para establecer una contradicción. En primer lugar, tenemos $\lambda'(s) \geq 0$ porque $\lambda$ es cada vez mayor. Luego por la del teorema de Tonelli,

\begin{align*} \frac{s}{\lambda(s)} &= \int_{0}^{\infty} \lambda(t) s e^{-st} \, dt \\ &= \int_{0}^{\infty} \bigg( \int_{0}^{t} \lambda'(x) \, dx \bigg) s e^{-st} \, dt \\ &= \int_{0}^{\infty} \lambda'(x) \bigg( \int_{x}^{\infty} s e^{-st} \, dt \bigg) dx \\ &= \int_{0}^{\infty} \lambda'(x) e^{-sx} \, dx. \end{align*}

Tomando log-la diferenciación de ambos lados, obtenemos

$$ \frac{\lambda'(s)}{\lambda(s)} = \frac{\int_{0}^{\infty} x \lambda'(x) e^{-sx} \, dx}{\int_{0}^{\infty} \lambda'(x) e^{-sx} \, dx} + \frac{1}{s}. \tag{1}$$

Este es nuestro ingrediente clave hacia una contradicción. El uso de esta, nos inductivamente demostrar que

La reclamación. Para cualquier $n = 1, 2, 3, \cdots$$s > 0$,$\frac{\lambda'(s)}{\lambda(s)} \geq \frac{n}{s}$.

El caso base $n = 1$ es sencillo de $\text{(1)}$ ya que la relación entre los dos se integra en el lado derecho de la $\text{(1)}$ es no negativo. Siguiente, suponiendo que el reclamo por $n$, tenemos

$$ \frac{\lambda'(s)}{\lambda(s)} \geq \frac{\int_{0}^{\infty} n \lambda(x) e^{-sx} \, dx}{\int_{0}^{\infty} \lambda'(x) e^{-sx} \, dx} + \frac{1}{s} = \frac{n/\lambda(s)}{s/\lambda(s)} + \frac{1}{s} = \frac{n+1}{s}. $$

Entonces la reclamación de la siguiente manera a partir de la inducción matemática.

Ahora la contradicción es evidente: $\lambda'(s)/\lambda(s)$ es finito para $s > 0$ mientras $n/s$ puede ser arbitrariamente grande! Por lo tanto, no hay tal $\lambda$ puede existir.

Answer 2

Hago explícito el indicio de iamavegan .

Si$\lambda_1(y)=\sqrt{c_1}\lambda(y)$, entonces $$ \ frac {1} {\ lambda_1 (y)} = \ int_0 ^ \ infty \ lambda_1 (x) \ exp (-c_2 yx) \, dx = \ int_0 ^ \ infty \ frac {\ lambda_1 (s / \ sqrt {c_2})} {\ sqrt {c_2}} \ exp (- \ sqrt {c_2} ys) \, ds $$ Define $$ \ lambda_2 (z) = \ frac {\ lambda_1 (z / \ sqrt {c_2})} {c_2 ^ {1/4}}. $$ Entonces, con$z=y\sqrt{c_2} $, $$ \ frac {1} {\ lambda_2 (z)} = \ int_0 ^ \ infty \ lambda_2 (s) \ exp (-sz) \, ds. $$ y $$ \ lambda (y) = c_1 ^ {- 1/2} c_2 ^ {1/4} \ lambda_2 (y c_2 ^ {1/2}) $$

Answer 3

SUGERENCIA: itere el$\lambda$ en la integral. \begin{align*} \frac1{\lambda(y)} &=c_1\int_0^{+\infty}\lambda(x)e^{-c_2xy}\,dx\\ &=c_1\int_0^{+\infty}\frac{e^{-c_2xy}}{c_1\int_0^{+\infty}\lambda(z)e^{-c_2zx}\,dz\\}\,dx\\ &=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-c_2xy}}{\int_0^{+\infty}\lambda(z)e^{-c_2zx}\,dz\\}\,dx\\ \end {align *} continuar desde aquí