Evaluar:
ps
Usando el método de residuo:
ps
El problema son las dos raíces en el límite$$\int_{|z|=1} \frac{1}{z^2 -\frac{3}{2}z + 1} dz$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Como se indicó en los comentarios, la integral de la $\oint_{|z|=1}\frac{1}{z^2-\frac32 z+1}\,dz$ no está definido.
Sin embargo, podemos definir el Valor Principal de Cauchy de la integral como el límite de
$$\begin{align} \text{PV}\left(\oint_{|z|=1}\frac{1}{z^2-\frac32 z+1}\,dz\right)&=\lim_{\epsilon \to 0}\int_{C_\epsilon} \frac{1}{z^2-\frac32 z+1}\,dz\tag 1 \end{align}$$
donde $C_\epsilon$ es el contorno de $|z|=1$, $\arg(z)\notin (\pm \arctan(\sqrt{7}/3)-\epsilon,\pm \arctan(\sqrt{7}/3)+\epsilon)$. Es decir que el $C_\epsilon$ excluye los polos de el integrando.
Podemos evaluar el límite en $(1)$ mediante el uso de Cauchy de la Integral Teorema. Vamos a cerrar el contorno $C_\epsilon$ con los contornos que son arcos circulares alrededor de los polos, de tal manera que ninguno de polo se adjunta.
Como $\epsilon\to 0^+$ de la integración del arco alrededor del polo en $z=\frac34+i\frac{\sqrt 7}{4}$ pueden ser fácilmente evaluados mediante la descripción paramétrica $z=\frac34+i\frac{\sqrt 7}{4}+2\sin(\epsilon/2)e^{i\phi}$, $\pi/2 +\epsilon<\phi<3\pi/2-\epsilon$. El procedimiento que hemos
$$\lim_{\epsilon\to 0^+}\int_{\pi/2 +\epsilon}^{3\pi/2-\epsilon}\frac{i}{2i\frac{\sqrt 7}{4}+2\sin(\epsilon/2)e^{i\phi}}\,d\phi=\frac{2\pi}{\sqrt 7}$$
Del mismo modo, para la integración del arco alrededor del polo en $z=\frac34-i\frac{\sqrt 7}{4}$ encontramos
$$\lim_{\epsilon\to 0^+}\int_{\pi/2 +\epsilon}^{3\pi/2-\epsilon}\frac{i}{-2i\frac{\sqrt 7}{4}+2\sin(\epsilon/2)e^{i\phi}}\,d\phi=-\frac{2\pi}{\sqrt 7}$$
Obviamente, ya que la suma de los residuos es cero, entonces nos encontramos con la
$$\text{PV}\left(\oint_{|z|=1}\frac{1}{z^2-\frac32 z+1}\,dz\right)=0 \tag 2$$
Otra interpretación es la de tomar el promedio de $\oint_{|z|=1+\epsilon}\frac{1}{z^2-\frac32 z+1}\,dz$ $\oint_{|z|=1-\epsilon}\frac{1}{z^2-\frac32 z+1}\,dz$ y, a continuación, tomar el límite de $\epsilon\to 0^+$.
Desde el contorno de la $|z|=1-\epsilon$ encierra ni polo, Cauchy de la Integral Teorema garantiza que
$$\oint_{|z|=1-\epsilon}\frac{1}{z^2-\frac32 z+1}\,dz=0 \tag 3$$
Y desde el contorno de la $|z|=1+\epsilon$ encierra ambos polos, nos encontramos en el teorema que residen
$$\begin{align} \oint_{|z|=1\epsilon}\frac{1}{z^2-\frac32 z+1}\,dz&=2\pi i \text{Res}\left(\frac{1}{z^2-\frac32 z+1}, z=\frac34\pm i \frac{\sqrt 7}{4}\right)\\\\ &=2\pi i \left(\frac{1}{2i\frac{\sqrt 7}{4}}+\frac{1}{-2i\frac{\sqrt 7}{4}}\right)\\\\ &=0\tag 4 \end{align}$$
El promedio de $(3)$ $(4)$ $0$ y nos encontramos con
$$\text{PV}\left(\oint_{|z|=1}\frac{1}{z^2-\frac32 z+1}\,dz\right)=0 \tag 5$$
Y vemos que $(5)$ está de acuerdo con $(2)$, como se esperaba!
