Cómo demostrar este $x^3+y^3+z^3+3\ge 2(x^2+y^2+z^2)$

Question

Pregunta:

que $x,y,z>0$ y tal $xyz=1$, muestran que el $$x^3+y^3+z^3+3\ge 2(x^2+y^2+z^2)$ $

Mi idea: usar desigualdad de AM-GM %#% $ de #% % $ de $$x^3+x^3+1\ge 3x^2$$$y^3+y^3+1\ge 3y^2$$ % que $$z^3+z^3+1\ge 3z^2$$

Pero este no es mi la desigualdad, así que ¿cómo probarlo? Sé que esta condición es muy important.but ¿cómo usar esta condición? y esta desigualdad es más fuerte

Answer 1

Aquí hay una posible solución: (aunque no es de los más elegantes de uno)

Voy a emplear la Mezcla de las Variables de la técnica aquí. Dado que la desigualdad es simétrica, WLOG deje $x=\min(x,y,z)$. Por lo tanto,$t^2:=yz \ge 1$. Vamos $$f(x,y,z)=x^3+y^3+z^3-2(x^2+y^2+z^2)$$ Quiero demostrar $$f(x,y,z)\ge f(x,\sqrt{yz},\sqrt{yz}) = f(\frac1{t^2},t,t) \ge -3$$ Pongamos $p^2=x, q^2=y, r^2=z$. La primera desigualdad en la cadena es equivalente a $$q^6+r^6-2q^3r^3 \ge 2(q^4+r^4-2q^2r^2)$$ $$\iff (q^3-r^3)^2 \ge 2(q^2-r^2)^2$$ $$\iff (q^2+qr+r^2)^2 \ge 2(q+r)^2$$ Esto es cierto ya que $$(q^2+qr+r^2)^2 \ge q^4+r^4+2q^2r^2+2qr(q^2+r^2) \ge 4q^2r^2+2(q^2+r^2) \ge 2(q+r)^2$$ Por lo tanto, es suficiente para demostrar $f(\frac1{t^2},t,t)\ge -3$ $t>0$ que es equivalente a $$(t-1)^2((t^7-2t^5+t^3)+(t^7+t-2t^4)+(t^4-t^3+t^2)+t+1)\ge 0$$ Cada término entre corchetes de la gran factor es mayor que cero por AM-GM.

La última parte es poco tedioso para hacer a mano. Pero siempre sabes que $(t-1)$ tiene que ser factor (posiblemente con multiplicidad $2$) de esa cosa. Que ayuda en la simplificación.

Answer 2

He estado tratando de encontrar una forma más estética respuesta, pero hasta que no lo haga, voy a publicar un enfoque variacional.

He simplificado el argumento un poco, pero todavía estoy buscando un enfoque más sencillo.

Para minimizar $x^3+y^3+z^3-2x^2-2y^2-2z^2$$xyz=1$, tenemos que encontrar la $x,y,z$, de modo que todas las variaciones $\delta x,\delta y,\delta z$ que mantienen $xyz=1$; es decir, $$ \frac{\delta x}{x}+\frac{\delta y} de{y}+\frac{\delta z}{z}=0\etiqueta{1} $$ tenemos $x^3+y^3+z^3-2x^2-2y^2-2z^2$ parado: $$ (3x^2-4x)\,\delta x+(3y^2-4y)\,\delta y+(3z^2-4z)\,\delta z=0\etiqueta{2} $$ Estándar de ortogonalidad argumentos implican que hay un $\lambda$, de modo que $x,y,z$ satisfacer $$ 3t^2-4t=\frac\lambda{t}\implies3t^3-4t^2=\lambda\etiqueta{3} $$ Desde $3t^3-4t^2$ disminuye en $\left[0,\frac89\right]$ y aumenta para $t\gt\frac89$, para cualquier valor de $\lambda$, no puede haber más de dos valores positivos para $x,y,z$; por lo tanto, dos debe ser el mismo. Decir $y=x$$z=x^{-2}$. Tanto en $x$ $x^{-2}$ debe satisfacer $(3)$, por lo tanto, $$ 3x^3-4x^2=3x^{-6}-4x^{-4}\etiqueta{4} $$ El uso del Teorema de Sturm, vemos que $3x^9-4x^8+4x^2-3$ tiene sólo una raíz real; es $x=1$. Conectando en la expresión para ser minimizado da un mínimo de $-3$. Esto significa $$ x^3+y^3+z^3+3\ge2(x^2+y^2+z^2)\etiqueta{5} $$

Answer 3

Que $x+y+z=3u$, $xy+xz+yz=3v^2$ y $xyz=w^3$. Por lo tanto, nuestra desigualdad es equivalente a $f(v^2)\geq0$, donde $f$ es una función lineal. Por lo tanto, $f$ obtiene un valor mínimo, cuando $v^2$ obtiene un valor extremado, que pasa cuando dos números de $\{x,y,z\}$ son iguales. ID est, queda por demostrar nuestra desigualdad $y=x$ y $z=\frac{1}{x^2}$, que da algo obvio.

Answer 4

Esto no es una respuesta bastante, pero a la vez esta desigualdad parece bastante apretado.

Considere la función $f(t)=e^{3t}-2e^{2t}+1+t$. Tiene las siguientes propiedades:

• $f'(t)=e^{2t}(3e^t-4)+1$, lo $f(t)$ es tangente a $y=0$$t=0$;
• $f''(t)=e^{2t}(9e^t-8)$, lo $f(t)$ es cóncava hacia abajo en $(-\infty,\ln\frac89)$ y cóncava hacia arriba en $(\ln\frac89,\infty)$. Esto implica que $f(t)$ tiene al menos un cero en $(-\infty,\ln\frac89)$ y sin ceros a $(\ln\frac89,0)$$(0,\infty)$. En otras palabras, $f(t)$ cambia de signo en más de una vez.
• Tenemos $$\begin{align*}f\left(\ln\frac23\right)&=\frac{11}{27}-\ln\left(1+\frac12\right)\\ &>\frac{11}{27}-\left(\frac12-\frac12(\frac12)^2+\frac13(\frac12)^3-\frac14(\frac12)^4+\frac15(\frac12)^5\right)\\ &=\frac1{8640}>0,\end{align*}$$ por lo $f(t)\geq0$$[\ln\frac23,\infty)$.

Volviendo a la pregunta original, vamos a $xyz=1$, y asumir la $x\leq y\leq z$. Queremos mostrar que $\sum(x^3-2x^2+1)\geq0$.

Caso 1: $x\leq\frac23$. A continuación, podemos comprobar fácilmente que $g(t)=t^3-2t^2+1$ es la disminución en el $(0,\frac43)$ y aumentando en $(\frac43,\infty)$. Por lo tanto $$\begin{align*}\sum(x^3-2x^2+1) &=g(x)+g(y)+g(z)\\ &\geq g\left(\frac23\right)+2g\left(\frac43\right)\\ &=\frac{11}{27}+2\left(\frac{-5}{27}\right)\\ &=\frac1{27}>0.\end{align*}$$

Caso 2: $x>\frac23$. Set $x=e^a,y=e^b,z=e^c$. Entonces $a+b+c=0$, $a,b,c>\ln\frac23$, así $$\sum(x^3-2x^2+1)=f(a)+f(b)+f(c)-(a+b+c)\geq0.$$