$\ker T\subset \ker S\Rightarrow S=rT$ cuando$S$ y$T$ son funcionales lineales

Question

Me gustaría solo una pista para el siguiente ejercicio:

Permita que$V$ sea un espacio vectorial sobre el campo$K$, y$T$,$S$ funcionales lineales en V de forma que$Tv=0\Rightarrow Sv=0$. Demuestre que existe$r\in K$ tal que$S=rT$.

Sé cómo probar esto cuando$V$ es de dimensión finita. Muestro que si no existe tal constante$r$ entonces$n-2=\operatorname{dim}\textrm{ }(\ker\textrm{ }T\textrm{ }\cap \ker\textrm{ }S)=\operatorname{dim}\ker T=n-1$, una contradicción. Pero este enfoque no parece ayudar en absoluto para el problema establecido.

Answer 1

Siguiendo la sugerencia de Theo Buehler:

$T=0 \Rightarrow \ker T = V \Rightarrow \ker S = V \Rightarrow S = 0$, y la existencia de$r$ es trival.

Si$T\neq 0$, permita$\{v_i\}_{i\in I}$ ser una base de$\ker T$. Si$v\notin\ker T$, entonces$\{v_i\}_{i\in I}\cup\{v\}$ es una base de$V$: say$Tv=k\neq 0$. Si$Tw=0$ entonces$w\in\left<v_i\right>_{i\in I}$; si$Tw=h\neq 0$, luego$Tw=\frac{h}{k}k=\frac{h}{k}Tv=T\frac{h}{k}v$, por lo tanto$w-\frac{h}{k}v\in\ker T$, y listo.

$Tv_i=0$ implica$Sv_i=0$. Si$Tv=k\neq 0$, luego$Sv=h\neq 0$ a menos que$S=0$ en cuyo caso$r=0$.

Pero luego$S=\frac{h}{k}T$, y la verificación es inmediata en los elementos básicos.

Answer 2

Tienes que dar por supuesto el supuesto${\rm ker}\>T\subset {\rm ker}\>S$ sin hablar de una base.

Si$T=0$ todo es fácil.

Si hay un vector$a\in V$ con$Ta=1$, adivine qué$S$ debería ser y pruebe esa suposición. Para ello, debe (probar y) utilizar el hecho de que cualquier vector$x\in V$ se puede escribir en la forma$x=\xi a + x'$ para algunos$\xi\in K$% y$x'\in{\rm ker}\>T$.