Ecuación funcional$f(x) = f(3x) + \tanh(x)$

Question

La ecuación de sí mismo: $$f(x) = f(3x) + \tanh(x)$$ Así que en primer lugar estoy de solución homogénea de la ecuación: $$f(x)=f(3x)$$ así que es sólo función periódica $\Theta(\ln x)$ periodo $\ln 3$. Así: $$F(x) = \Theta(\ln x) + \hat{f}(x)$$where $\hat{f}(x)$ es la solución particular de la ecuación. Cualquier consejos de cómo encontrar algunos?

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Parece que es realmente malo de alrededor de 0, pero va sin problemas en grandes valores. Y mi actual adivinar que su comportamiento en torno a la $x=0$ está fuertemente conectado con el período de $\Theta$

Answer 1

Para las funciones de $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, la solución general de la ecuación funcional

$$f(x)=f(3x)+\tanh(x)$$

es

$$f(x)=\Theta(\ln x)-\sum_{k=1}^\infty\tanh\left(x\over3^k\right)$$

donde $\Theta:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es cualquier función de la satisfacción de $\Theta(x+\ln3)=\Theta(x)$.

Tenga en cuenta que el infinito de la serie es absolutamente convergente para cualquier $x$, ya que el $\tanh(x/3^k)\approx x/3^k$ de las grandes suficientemente $k$. Se define un continuo (de hecho, suave) de la función en todos los de $\mathbb{R}$. Si desea que la función $f(x)$ a tener un límite de $x\to0^+$, entonces usted necesita para $\Theta$ a ser constante; de lo contrario $f$ enfoque de todos los valores de $\Theta$ toma (como en el OP de la figura).