Clasificación de topologías finitas

Question

¿Existe una clasificación de topologías finitas?

Defino una topología finita como un conjunto finito$T$ de conjuntos que respeta las siguientes propiedades:

• $\forall a,b \in T: a \cap b \in T$,
• $\forall a,b \in T: a \cup b \in T$,
• $\emptyset \in T$,
• $\exists S\in T\ |\ \forall a \in T , a \subseteq S$.

Esto parece algo natural que hacer en la línea de clasificar grupos finitos, así que tengo curiosidad por cómo se ve la investigación actual en esta área.

Answer 1

Finito de las topologías y finito pre-ordenes (reflexiva y transitiva de relaciones) son equivalentes:

Deje $T$ ser un espacio topológico con finito de topología $\mathcal{O}$. Definir $\leq$$T$: $$x\leq y \Leftrightarrow \forall U\in \mathcal{O} : x\in U \Rightarrow y\in U$$

A continuación, $\leq$ es claramente un preorder, llama la especialización de la orden de $T$.

Dado un preorder $\leq$$T$, definir el conjunto $\mathcal{O}$ a ser el conjunto de todos hacia arriba-conjuntos cerrados en $(T,\leq)$, que es de todos los conjuntos de $U$ con:

$$\forall x,y\in T : x\leq y \text{ and } x\in U \Rightarrow y\in U$$

A continuación, $\mathcal{O}$ es una topología, llama la especialización en topología o Alexandroff topología de $(T,\leq)$.

Las construcciones son functorial y puede convertirse en una equivalencia de categorías $\mathsf{FinTop}$ $\mathsf{FinPros}$ (no tengo tiempo para trabajar detalles por el momento, sin embargo).

Answer 2

Hay una enorme cantidad de literatura sobre finito topologías. En realidad este tema es uno de los principales capítulos en álgebra universal, bajo el nombre de distribución de celosías. Es decir, los conjuntos de $L$ dotado de dos asociativa, conmutativa y idempotente operaciones de $\vee$ ("join") y $\wedge$ ("conocer"), que además de satisfacer las siguientes ecuaciones: $$x\v(x\wedge y) = x = x\wedge(x\v, y)$$ (de absorción), y $$x\vee(y\wedge z) = (x\v, y)\wedge (x\v, z)$$ $$x\wedge(y\v, z) = (x\wedge y)\vee (x\wedge z)$$ (distributividad). En el caso que nos ocupa, estamos buscando delimitada distributiva celosías, es decir, tener dos elementos $0$ $1$ que satisfacer $$x \v 0 = x \qquad x \v 1 = 1$$ para todos los $x\in L$. Usted va a comprobar de inmediato que cada finito topología en un conjunto $S$ hormigón es una interpretación de este axiomas, ya que $\cup$ y $\cap$, $\emptyset$ y $S$ satisfacer la definición de identidades. Por otra parte, cada finita limitada distributiva de la celosía es isomorfo a algunos finito topología sobre un conjunto finito (que se considera como una estructura algebraica): Esto se desprende de Priestley representación del teorema.

Acabo de realizar una búsqueda en internet para obtener más información sobre esto.