¿Puede una función ser analítica y satisfacer$f\left(\frac 1 n\right) =\frac{1}{\log{n}}.$?

Question

Deje $\Omega = \{z\in\mathbb{C}:\,|z|<2\}$. Demostrar o refutar la existencia de una analítica de la función $f:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ tal que para $n\geq2$: $$f\left(\frac 1 n\right) =\frac{1}{\log{n}}.$$

Normalmente esta pregunta estaría bajo la unicidad teorema para funciones analíticas; un ejemplo donde el teorema de unicidad de las obras es en refutar la existencia de una analítica $f$ satisfacción $$f\left(\frac 1 n\right) =\frac{(-1)^n}{n^2}.$$

Pero en el caso de la $\log$, creo que el problema de la existencia es más "sustancial".

Es cierto que si ese $f$ fueron a existir, a continuación,$f(z) = -\frac{1}{\log z}$? Y si es así, ¿cuál es la razón principal de que esta función no puede ser analítico en $\Omega$?

Gracias de Antemano!

Answer 1

Supongamos que tal función existe. Luego (por continuidad)$f(0) = 0$. Por lo tanto, podemos escribir $$ f (z) = zg (z) $$ para algún holomorfo$g$. Enchufa$z=1/n$ para obtener $$ g (1 / n) = nf (1 / n) = \ frac {n} {\ log n} $$ pero si dejamos$n\to\infty$, se deduce que $g$ no está limitado cerca de$0$, lo cual es una contradicción.

Answer 2

Si requerimos que$f(z)$ sea analítico, entonces$$f(z)=-\frac{1}{\log z}\tag1$ $ es la única solución, porque al tener una función definida en un punto de acumulación de su dominio, podemos expandirla a todo su dominio. El punto de acumulación en este caso es$z=0$. La función$f$ no puede ser analítica en$\Omega$ ya que$(1)$ no lo es.