¿Desigualdad triangular para la resta?

Question

¿Por qué es $|a - b| \geq|a| - |b|$?

Answer 1

A veces se le llama la desigualdad del triángulo inverso. La forma correcta es $$\left| a - b \right| \ge \big||a| - |b|\big|$$ Para la prueba, considera $$|a| = |a - b + b| \le |a - b| + |b|$$ $$|b| = |b - a + a| \le |a - b| + |a|$$ por lo que tenemos $$-|a-b|\le|a|-|b| \le |a - b|$$

Answer 2

No. Por ejemplo, $|(-2)-3|=5>|-2|-|3|=-1.$

Creo que estás pensando en $||a|-|b||\le |a- b|.$

Answer 3

La longitud de cualquier lado de un triángulo es mayor que la diferencia absoluta de las longitudes de los otros dos lados:

$$||a|-|b||\leq |a-b|$$

Aquí hay una prueba:

$$|a+(b-a)|\leq |a|+|b-a|$$

y,

(1) $$|a-b|\geq |a|-|b|$$

Intercambiando $a$ y $b$, también obtenemos

(2) $$|a-b|\geq |b|-|a|$$

Combinando (1) y (2) obtenemos nuestro resultado deseado.