He visto discusiones sobre ambos $0/0$ y $0^0$ y difieren un poco en que la mayoría parece estar de acuerdo en llamar $0/0$ "indefinido", mientras que el $0^0$ La discusión sigue pareciendo una disputa. Si esto es correcto:
$x/x = x^1 / x^1 = x^{1-1} = x^0$
$x/x = x^0$
$0/0 = 0^0$
¿No deberían ser ambos igualmente indefinidos?
En primer lugar, permítanme decir que podemos definir $0/0$ y $0^0$ para ser lo que queramos. La pregunta es: ¿sería útil esa definición en general? Para $0/0$ la respuesta parece ser no. Para $0^0$ parece más útil definir $0^0=1$
$0/0$
Hay dos cuestiones en juego. En lo absoluto, $0/0$ sería la solución de la ecuación $$ 0x=0\tag{1} $$ Lamentablemente, cualquier $x$ trabaja en $(1)$ Por lo tanto, esta definición no tiene ningún valor útil.
Otro lugar donde la gente se encuentra $0/0$ es en relación con los límites. Por ejemplo, si $f$ y $g$ son continuas en $x=a$ y $f(a)=g(a)=0$ no podemos simplemente introducir el valor $a$ para conseguir $$ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(a)}{g(a)}=\frac00\tag{2} $$ ya que eso nos lleva de nuevo al problema de $(1)$ . Sin embargo, en muchos casos, podemos determinar $\lim\limits_{x\to a}f(x)/g(x)$ . He aquí algunos ejemplos de límites en el formulario $0/0$ : $$ \begin{align} \lim_{x\to0}\frac xx&=1\\[6pt] \lim_{x\to0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}&=\frac12\\[6pt] \lim_{x\to0}\frac{x-\sin(x)}{x^3}&=\frac16 \end{align}\tag{3} $$ Como se puede ver en $(3)$ , $\lim\limits_{x\to a}f(x)/g(x)$ depende totalmente de la elección de $f$ y $g$ y de nuevo no surge ningún valor claro al considerar los límites de la forma $0/0$ .
$0^0$
En el uso común, $0^0$ se encuentra a menudo en la teoría de conjuntos como el número de mapas del conjunto vacío al conjunto vacío, o como $x^0$ en combinatoria y polinomios. En todos estos casos, $0^0=1$ es la definición adecuada, ya que hay $1$ mapea desde el conjunto vacío al conjunto vacío, y porque $$ \lim_{x\to0}x^0=1\tag{4} $$ Ciertamente, hay límites de la forma $0^0$ que no son iguales a $1$ por ejemplo, $$ \lim_{x\to0}|2x|^{1/\log|x|}=e\tag{5} $$ Pero no se producen con tanta frecuencia como las mencionadas anteriormente. Además, como hay un problema para elevar números negativos a potencias no enteras, incluso definiendo $x^y$ en un barrio de $(0,0)$ es difícil. Por eso solemos considerar $x^0$ donde el exponente es un número entero fijo, cuando se habla de $0^0$ .
Ambos son igualmente indefinidos en el sentido de que puedes tener límites con formas indeterminadas de estos dos tipos que se evalúan a cualquier número real que quieras. Sin embargo, $0^0$ a veces se toma como $1$ en ciertos contextos: por ejemplo, cuando escribimos series de Taylor (y de hecho, series de potencias en general), a menudo escribimos $$f(x) = \sum_{k = 0}^{\infty} a_k x^k.$$ Como esto se centra en $0$ queremos que converja al menos ahí, a $a_0$ . Sin embargo, el primer término de $f(0)$ es $a_0 0^0$ ¡! Utilizamos la convención de que $0^0 = 1$ aquí para simplificar la notación, porque en cierto sentido es la forma "correcta" de interpretar el símbolo $0^0$ en este contexto. Hay muchos otros contextos en los que $0^0$ puede considerarse como $1$ de forma razonable, ya que hay circunstancias en las que se puede pensar en otra cosa de forma igualmente razonable. Sin embargo, como ha descubierto, no tiene sentido lanzar $0^0$ en la vida cotidiana, como expresión de la forma $0^0$ se puede convertir en una expresión de la forma $0/0$ .
La Wikipedia tiene un buen debate sobre esta cuestión aquí .
En sentido estricto, su argumento es válido. Otro argumento común en esta línea es que la función $f(x,y)=x^y$ no tiene límite en $(0,0)$ y, por tanto, no debería definirse en este punto. Sin embargo, en determinadas circunstancias, es útil "definir" $0^0$ para ser $1$ .
Una importante noción relacionada que surge en varios ámbitos es la idea de la producto vacío que a veces se utiliza para justificar la afirmación $0^0=1$ .
Del mismo modo, en el contexto de la integración de Lebesgue, se suele definir $0\cdot\infty$ para ser $0$ aunque esta cantidad es clásicamente indefinida.
$\frac{0}{0}$ y $0^0$ son ambos indefinidos. Por ejemplo, el límite de $\frac{\ln(x+1)}{x}$ como $x$ llega a cero es 1, y para $\frac{\sin^2(x)}{x}$ el límite es cero. En otras palabras, la forma de definir $\frac{0}{0}$ depende mucho del contexto y no existe una definición general.
Lo mismo ocurre con $0^0$ . Por ejemplo, $x^x$ como $x$ va a $0$ , tiende a $1$ . Pero $(e^x-1)^{x}$ va a $0$ como $x$ va a $0$ .
Es esta multiplicidad de posibilidades la que hace que la definición de $\frac{0}{0}$ y $0^0$ imposible.
No creo que el $\frac{x}{x}=x^0$ debe usarse tan libremente, ya que la división por cero es ilegal pero la exponenciación de o por cero no lo es. Hay buenas razones para definir $0^0=1$ en contextos particulares, yo diría que hay buenas razones para hacerlo en más contextos (véase más adelante). Además, esta definición es totalmente compatible con todas las leyes de la potencia: $$(a^m)^n = a^{mn}, \quad a^{m+n}=a^ma^n, \quad (ab)^n=a^nb^n, \quad a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}\ (\text{if}\ a^n \ne 0)$$
Ejemplos de cuando se define $0^0 = 1$ es útil:
Sin permitir $0^0=1$ de vez en cuando, no puedes escribir cosas como $$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \quad \text{for all}\ x \in \mathbb{C}$$ sin añadir el caso especial $e^0=1$ .
Es compatible con la regla de que si $A$ tiene tamaño $a$ y $B$ tiene tamaño $b$ entonces el número de funciones $A \to B$ es $b^a$ .
Es compatible con la regla de que $a^n$ es lo que se obtiene al multiplicar $a$ por $a$ $n$ veces: si se multiplica cualquier cosa por sí misma ninguna vez, se debería obtener la identidad multiplicativa, que es $1$ .
Es necesario para la identidad $\dfrac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$ para mantener: el gradiente de la línea $y=x$ en el origen es $1$ ¡!
Al final, la diferencia entre definir $0^0=1$ y no hacerlo, es que en el primer caso $0^{\alpha}$ se define para $\alpha \ge 0$ y en este último caso se define para $\alpha > 0$ . ¡La diferencia que hace tiene medida cero!
Iba a publicar esto como comentario, pero era demasiado largo.
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