$X:\Vert X\Vert_2<1 \iff\text{ matrix }\begin{bmatrix} I&X^*\\X&I\\\end{bmatrix} $ es positivo

Question

La siguiente pregunta parece tan simple, pero no pude encontrar una solución. Empecé a pensar que podría haber algo mal con la pregunta. ¿Podría echar un vistazo?

Para una matriz$X:\Vert X\Vert_2<1 \iff \text{ matrix }\begin{bmatrix} I&X^*\\X&I\\\end{bmatrix} $ es positivo

Answer 1

Supongamos $\|X\|_2 < 1$. Entonces, para cualquier tamaño apropiado vectores $v,w$, tenemos

$\begin{bmatrix}v^* & w^*\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I&X^*\\X&I\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v\\w\end{bmatrix}$

$= v^*Iv + v^*X^*w + w^*Xv + w^*Iw$

$= \|v\|_2^2+(Xv)^*w+w^*(Xv)+\|w\|_2^2$

$\ge \|v\|_2^2 - \|Xv\|_2 \cdot \|w\|_2 - \|w\|_2 \cdot \|Xv\|_2+\|w\|_2^2$ (por Cauchy Schwartz)

$\ge \|v\|_2^2 - \|v\|_2 \cdot \|w\|_2 - \|w\|_2 \cdot \|v\|_2+\|w\|_2^2$ (Desde $\|X\|_2 < 1$)

$= \|v\|_2^2-2\|v\|_2 \cdot \|w\|_2 + \|w\|_2^2$

$= (\|v\|_2-\|w\|_2)^2$

$\ge 0$.

Yo voy a dejar a usted para verificar que la igualdad sólo se mantiene si $v = 0$$w = 0$. Esto demuestra que $\begin{bmatrix}I&X^*\\X&I\end{bmatrix}$ es positiva definida.

Ahora, supongamos $\|X\|_2 \ge 1$. Entonces existe un $v \neq 0$ tal que $\|Xv\|_2 \ge \|v\|_2$. Deje $w = -Xv$.

Entonces, tenemos

$\begin{bmatrix}v^* & w^*\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I&X^*\\X&I\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v\\w\end{bmatrix}$

$= v^*Iv + v^*X^*w + w^*Xv + w^*Iw$

$= v^*v - v^*X^*Xv - v^*X^*Xv + v^*X^*Xv$

$= v^*v - v^*X^*Xv$

$= \|v\|_2^2 - \|Xv\|_2^2$

$\le 0$.

Esto demuestra que $\begin{bmatrix}I&X^*\\X&I\end{bmatrix}$ no es positiva definida.