Demostrar una identidad trigonométrica: $\frac{\cos x}{1-\sin x} -\tan x = \sec x$

Question

Estoy tratando de demostrar una identidad trig que me es confuso. La identidad es %#% $ #% aquí es mi intento.

Lo hice $$\frac{\cos(x)}{(1-\sin(x))}-\tan(x)=\sec(x)$ $ pero no tiene sentido para mí. ¿Alguien por favor me puede ayudar con esta cosa?

Answer 1

Para la diversión, me encontré con un "trigonograph" de esta identidad (para los casos agudos $\theta$).

En el diagrama, $\overline{AB}$ es tangente al círculo unidad en $P$. El "trig longitudes" (excepto para $|\overline{AQ}|$) debe ser clara.

Tomamos nota de que $\angle BPR \cong \angle RPP^\prime$, ya que estos ángulos inscritos sobrepasan los arcos congruentes $\stackrel{\frown}{PR}$$\stackrel{\frown}{RP^\prime}$. Muy poco ángulo persiguiendo da ese $\triangle APQ$ es isósceles, con $\overline{AP} \cong \overline{AQ}$ (justificando que el pasado trigonométricas de longitud). A continuación, $$\triangle SPR \sim \triangle OQR \implies \frac{|\overline{SP}|}{|\overline{SR}|} = \frac{|\overline{OQ}|}{|\overline{OR}|} \implies \frac{\cos\theta}{1-\sin\theta} = \frac{\sec\theta+\tan\theta}{1}$$

Answer 2

Tenemos %#% $ #%

Answer 3

Sugerencia

$$\frac{\cos(x)}{1-\sin(x)}-\tan(x)=\frac{\cos(x)}{1-\sin(x)}-\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\frac{\cos^2(x)-\sin(x)+\sin^2(x)}{\cos(x)(1-\sin(x))}$$

Ahora ¿qué es $\cos^2(x)+\sin^2(x)$?

Answer 4

$$ 1 = \sec^2 x - \tan^2 x = (\sec x + \tan x)(\sec x-\tan x) $$ dividiendo el segundo factor en el lado derecho: $$ \frac1{\sec x - \tan x} = \sec x + \tan x $$ LHS multiplicando numerador y denominador por $\cos x $ y trayendo $\tan x$ a la LHS de RHS:

$$ \frac{\cos x} {\sin 1 x} - \tan x = \sec x $$

Answer 5

Voy a abusar de la igualdad de signo un poco, y manipular a ambos lados a la vez. Me parece que un poco más intuitivo

Obligado a Probar:

$$\dfrac{\cos(x)}{1-\sin(x)}-\tan(x)=\sec(x)$$

Se mueven a lo "habitual" funciones trigonométricas

$$\dfrac{\cos(x)}{1-\sin(x)}-\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}=\dfrac{1}{\cos(x)}$$

Hay $\cos$'s en la línea inferior, por lo que permite simplificar al multiplicar ambos lados por $\cos(x)$

$$\dfrac{\cos^{2}(x)}{1-\sin(x)}-\sin(x)=1$$

Mover la lonely $\sin(x)$

$$\dfrac{\cos^{2}(x)}{1-\sin(x)}=1+\sin(x)$$

El denominador de la parte inferior de lado izquierdo sería bueno tener $\cos^2(x)=1-\sin^2(x)=(1-\sin(x))(1+\sin(x))$. y siempre podemos múltiples algún término por $1=\dfrac{1+\sin(x)}{1+\sin(x)}$

$$\dfrac{\cos^{2}(x)}{1-\sin(x)}\dfrac{1+\sin(x)}{1+\sin(x)}=1+\sin(x)$$

$$\dfrac{\cos^{2}(x)(1+\sin(x))}{1-\sin^{2}(x)}=1+\sin(x)$$

$$\dfrac{\cos^{2}(x)(1+\sin(x))}{\cos^{2}(x)}=1+\sin(x)$$

$$1+\sin(x)=1+\sin(x)$$