Es fácil probar que la conjetura de Firoozbakht implica (para $n \geq 2$ es equivalente a) $$ \sigma (p_n^n)> \frac {p_{n+1}-1}{p_n-1} \sigma (p_{n+1}^{n-1}) \tag {1}$$ $ \forall n \geq 2$ donde $ \sigma (m)= \sum_ {d \mid m}d$ denota la suma de la función de los divisores. Mira si necesitas el artículo de Wikipedia dedicado a La conjetura de Firoozbakht.
Con cálculos fáciles que he deducido de $(1)$ una declaración fácil, y me gustaría saber si es correcta.
Pregunta 1. Proporciónenos una prueba, o la prueba de una declaración similar: Para cada número entero $N \geq 2$ uno tiene $$ \sigma\left ( \prod_ {n=1}^N p_n^n \right )> \frac {3}{2}(p_{N+1}-1) \prod_ {n=2}^N \sigma (p_{n+1}^{n-1}), \tag {2} $$ asumiendo la conjetura de Firoozbakht. Muchas gracias.
Esta es una pregunta opcional que puede responder si lo desea, con el propósito de obtener retroalimentación sobre mi enfoque anterior.
Pregunta 2. (Opcional) fue interesante o podemos obtener una declaración más elaborada $(2)$ ? Gracias de antemano.
Ahora estoy preguntando si $(2)$ es interesante frente a la conjetura de Firoozbakht o algún problema no resuelto relacionado con la suma de la función divisora, o bien la teoría de la distribución de primos y la teoría de la suma de la función divisora en sí misma. O, si puede proporcionarme una declaración más elaborada inspirada o similar que $(1)$ (Evoco que se puede combinar la conjetura de Firoozbakht con diferentes funciones aritméticas, como las primordiales, la función totiente de Euler o la suma de la función divisora y diferentes problemas o teoremas no resueltos relacionados con estas funciones aritméticas).
