Encontrar piso de suma$\sum_{k=1}^{80} k^{-1/2}$

Question

Tenemos que encontrar el piso de $\lfloor S \rfloor$ de la suma siguiente:

$$S = \sum_{k=1}^{80}\frac{1}{\sqrt k}$$

Yo lo que hice fue encontrar un aproximado de la serie que esta serie está cerca. Deje que la serie de término general $T_k$ y originales de la serie puede tener un término general que se $a_k$. Construimos la siguiente serie de $T_k$

$$T_k = \frac{1}{ \sqrt{k+1}+\sqrt{k}} = \sqrt{k+1}-\sqrt{k}\\$$

Entonces tenemos la siguiente desigualdad:

$$\frac{a_k}{2} = \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k}} > T_k \\ \sum a_k > 2 \sum_{1}^{80} T_k \\ S > 2 (\sqrt{81}-1)$$

Donde el último resultado es debido a la propiedad telescópica de $T_k$. Así que tenemos un límite inferior $ S_k >\color{indigo}{ 16}$

Sin embargo, todavía no podemos decir $\lfloor S \rfloor = 16$ porque $S$ puede exceder $17$.

Answer 1

$$ \begin{align} \int_1^{81}\frac 1{\sqrt x}\;\;\text d x &<\qquad\sum_{k=1}^{80}\frac 1{\sqrt k} &&<1+\int_1^{80}\frac 1{\sqrt x}\;\;\text d x\\ \bigg[2\sqrt{x}\bigg]_1^{81} &< \qquad\sum_{k=1}^{80}\frac 1{\sqrt k} &&<1+\bigg[2\sqrt{x}\bigg]_1^{80}\\ 2\big(\sqrt {81}-\sqrt{1}\big) &< \qquad\sum_{k=1}^{80}\frac 1{\sqrt k} &&< 1+2\big(\sqrt{80}-\sqrt{1}\big)\\ 16 &< \qquad\sum_{k=1}^{80}\frac 1{\sqrt k} &&<16.88 \end {align} $$

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NB: Wolframalpha da $16.484$ .

Answer 2

Tenemos que$\sqrt{n+a+1}-\sqrt{n+a}$ se comporta como$\frac{1}{2\sqrt{n}}$ para valores grandes de$n$, y al elegir$a=-\frac{1}{2}$ obtenemos un término telescópico que proporciona aproximaciones precisas de$\frac{1}{\sqrt{n}}$ para cualquier $n\geq 1$:$$ 2\sqrt{n+\tfrac{1}{2}}-2\sqrt{n-\tfrac{1}{2}} =\frac{1}{\sqrt{n}}+E(n),\qquad \frac{1}{32 n^2\sqrt{n}}\leq E(n)\leq \frac{1}{28n^2\sqrt{n}} $ $ Se deduce que$$ \sum_{n=1}^{80}\frac{1}{\sqrt{n}} = 2\sqrt{80+\tfrac{1}{2}}-2\sqrt{\tfrac{1}{2}}+\theta,\qquad |\theta|\leq\frac{1}{28}\zeta\left(\frac{5}{2}\right) $ $, por lo tanto,$\sum_{n=1}^{80}\frac{1}{\sqrt{n}}$ pertenece al intervalo$(16,17)$ y está muy cerca del punto medio de dicho intervalo.

Answer 3

Puedes usar Abel Sum:

obtenemos $$ S \ left (N \ right) = \ sum_ {k = 1} ^ {N} \ frac {1} {\ sqrt {k}} = \ sqrt {N} + \ frac {1} {2 } \ int_ {1} ^ {N} \ frac {\ left \ lfloor t \ right \ rfloor} {t ^ {3/2}} dt $$

entonces, usando los límites

$$ t-1 \ leq \ left \ lfloor t \ right \ rfloor \ leq t $$

tenemos

$$ 2 \ sqrt {N} + \ frac {1} {\ sqrt {N}} - 2 \ leq S (N) \ leq2 \ sqrt {N} -1 $$

por lo tanto

ps

Answer 4

Si ahora usa el hecho de que$\tfrac{a_k}2<T_{k-1}$ (porque$\frac1{2\sqrt k}<\frac1{\sqrt k +\sqrt{k-1}}=T_{k-1}$), y verá que la suma debe ser estrictamente menor que$2\sqrt{80}$, entonces ahora sabe que la respuesta es$16$ o$17$.

Pero un poco más de detalle muestra que$$\sum_{k=2}^{80}\frac1{\sqrt{k}}<2\sum_{k=2}^{80}\left(\sqrt k - \sqrt{k-1}\right)=2(\sqrt{80}-1)<16;$ $ pero luego$$\sum_{k=1}^{80}\frac1{\sqrt{k}}=\frac1{\sqrt 1}+\sum_{k=2}^{80}\frac1{\sqrt{k}}<1+16=17$ $ (tenga en cuenta que esto es estricto, en realidad$2(\sqrt{80}-1)+1\simeq16.889$). Entonces el resultado es$16$.