La interrelación de las diferentes formas de las constantes de acoplamiento

Question

En Peskin y Schroeder, por lo que sé, hay cuatro formas diferentes que puede adoptar la constante de acoplamiento:

• $\lambda_0$ : Este es el Acoplamiento desnudo y la que aparece en el Lagrangiano, por ejemplo, para $\phi^4$ : $$\mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial_\mu\phi_0\partial^\mu \phi_0-\frac{m^2}{2}\phi^2_0-\frac{\lambda_0}{4!} \phi_0^4$$

• $\lambda$ : Este es el acoplamiento renormalizado que se puede encontrar, por ejemplo, mediante una sustracción mínima.

• $\lambda'$ : Este es el acoplamiento efectivo que aparece en el lagrangiano efectivo de la aproximación de Wilson a la renormalización y toma la forma $$\lambda'=(\lambda+\Delta \lambda)(1+\Delta Z)^{-2} b^{d-4}$$

• $\bar \lambda$ : Este es el constante de acoplamiento en funcionamiento que aparece en la ecuación del grupo de renormalización: $$\frac{d}{d \log(p/M)}\bar \lambda(p;\lambda)=\beta(\bar \lambda)$$

Estoy viendo cómo se relacionan todos ellos. En la mayoría de los casos es obvio, pero no estoy seguro de cómo $\lambda'$ y $\lambda$ están relacionados con $\bar \lambda$ . Mi pregunta es, por tanto, ¿cómo se relacionan?

Answer 1

Comenzamos con un Lagrangiano lleno de acoplamientos desnudos y campos $\{Z_B,g_B,m_B,...\}$ . A continuación, regularizamos la teoría mediante un corte duro $\Lambda $ o por reg. dimensional $d=4-\varepsilon$ para domar los infinitos. Las amplitudes pueden entonces calcularse formalmente en expansión perturbativa en el Acoplamiento desnudo $g_B$ : $$ \mathcal{M}(s_0,t_0,u_0)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n(Z_B,m_B,...,\Lambda\, or\,\varepsilon)(g_{B})^{n} $$ Cada trimestre $A_n(Z_B,m_B,...\Lambda\, or\,\varepsilon)$ suelen divergir a medida que hacemos $\Lambda\rightarrow\infty$ o $\varepsilon\rightarrow 0$ por lo que sólo puede considerarse una expresión formal. La idea de la renormalizabilidad es absorber estas divergencias haciendo acoplamientos desnudos $\rightarrow$ acoplamientos renormalizados .

Ahora bien, que los infinitos están domesticados siempre que mantengamos $\varepsilon\neq0$ o $\Lambda\neq\infty$ podemos hacer el acoplamientos desnudos $\rightarrow$ acoplamientos renormalizados (es decir, fijar un condición de renormalización ). $$ \mathcal{M}(s_0,t_0,u_0)=g_0 $$ para un determinado escala de renormalización $\mu_0$ contenida en $(s_0,t_0,u_0)$ . Junto con otras condiciones de renormalización obtenemos un conjunto de acoplamientos renormalizados $\{Z_0,g_0,m_0,...\}$ . Nótese que esto depende del procedimiento de regularización y de la escala $\mu_0$ . Estos acoplamientos renormalizados son finitos y pueden obtenerse directa o indirectamente mediante resultados experimentales.

El acoplamiento en marcha es el $\{Z(\mu),g(\mu),m(\mu)\}$ y puede obtenerse por cálculo perturbativo, expandiendo las funciones beta en los acoplamientos renormalizados $\{Z_0,g_0,m_0,...\}$ . Obsérvese que el funcionamiento de los acoplamientos te está diciendo cómo deberían cambiar las condiciones de renormalización si cambias la escala por $\mu_0\rightarrow\mu$ para preservar todas las cantidades físicas (preservar las predicciones de la teoría).

Ahora, utilizando la condición de renormalización $\mathcal{M}(s_0,t_0,u_0)=g_0$ y la ampliación formal de $\mathcal{M}(s_0,t_0,u_0)$ en términos de acoplamientos desnudos puede relacionar el desnudo y el acoplamientos renormalizados . Conociendo las funciones beta se pueden relacionar los acoplamientos renormalizados de dos escalas diferentes $\mu_0$ y $\mu$ de la misma teoría.

Así pues, todo esto relaciona la acoplamientos desnudos El acoplamientos renormalizados y el acoplamientos en funcionamiento .

Ahora, el enfoque de Wilson es de alguna manera diferente. Partimos de una teoría que ya está regulada por un corte $\Lambda_0$ y los acoplamientos pueden verse como funciones del corte $\{Z(\Lambda_0),g(\Lambda_0),m(\Lambda_0),...\}$ . A medida que integramos los modos, cambiando $\Lambda_0\rightarrow\Lambda$ obtenemos un lagrangiano efectivo con acoplamientos efectivos $\{Z(\Lambda),g(\Lambda),m(\Lambda),...\}$ .

Nótese que ahora no hay condición de renormalización ni escala de renormalización $\mu_0$ . Los acoplamientos corren con la escala de regularización del corte en lugar de la escala de renormalización. La relación entre estas dos aproximaciones sólo se consigue cuando hacemos el límite $\Lambda \rightarrow \infty$ en ambos. Ahora, utilizando alguna cantidad física en ambos lados podemos relacionar los acoplamientos efectivos $\{Z(\Lambda),g(\Lambda),m(\Lambda),...\}$ con los acoplamientos de la ruina $\{Z(\mu),g(\mu),m(\mu)\}$ .

Lo que se revela a través de esta relación es que ambos enfoques están parametrizando el grupo de renormalización de una "misma teoría", con diferente parametrización (es la misma teoría sólo después del límite $\Lambda\rightarrow\infty$ ):

• La primera es parametrizar el grupo de renormalización por la escala de renormalización $\mu$ y una condición de renormalización $\{Z(\mu),g(\mu),m(\mu)\}$ y llevar la regularización al infinito $\Lambda\rightarrow\infty$ al final.
• El enfoque wilsoniano consiste en parametrizar el grupo de renormalización mediante la escala de regularización $\Lambda$ y acoplamientos efectivos $\{Z(\Lambda),g(\Lambda),m(\Lambda),...\}$ y al final del cálculo pulsamos $\Lambda\rightarrow\infty$ como antes.

Obsérvese que el acoplamiento efectivo divergirá como $\Lambda\rightarrow\infty$ por las mismas razones que los acoplamientos desnudos, para tener cantidades físicas finitas como predicciones.

Lo que es importante tener en cuenta es que correr $\mu$ con $\Lambda$ fijo es lo mismo que ejecutar $\Lambda$ con $\mu$ arreglado. Cuando hacemos $\Lambda\rightarrow\infty$ En ambos casos, la dependencia de los detalles de cada regularización y enfoque desaparecerá. Para más detalles sobre la relación entre estos dos enfoques, véase este