Conexión 1-forma en Torus

Question

Tengo cuatro preguntas, cada una de ellas sobre la anterior. $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ ( $ \color {green}{ \checkmark }$ = ya resuelto, ver actualizaciones y respuestas)

$$$$ Let's say we have a torus $ T $ parametrized by $ \varphi ( \theta , \phi )=((a + b \cos \phi ) \cos\theta (a + b) \cos \phi ) \sin\theta , b \sin\phi ) $ and $ a>b>0$.

$ \color {green}{ \checkmark }$ 1. Ahora creo que puedo construir un campo vectorial unitario tangente liso $X$ en $T$ diferenciando $ \varphi $ $\ \ \ \ \ \ \ $ con respecto a $ \theta $ y normalizarlo y usar la bijección $ \varphi ^{-1}$ así que $V( \theta , \phi )=(- \sin\theta , \cos\theta ,0)$ $\ \ \ \ \ \ \ $ y así $X(x,y,z)=(V \circ\phi ^{-1})(x,y,z)$ . No estoy seguro de que esto sea fácil, porque yo $\ \ \ \ \ \ \ $ no sé si $ \varphi ^{-1}$ es.

$ \color {green}{ \checkmark }$ 2. También me gustaría saber cuál es la conexión correspondiente 1-forma $ \omega $ hace a la coordenada $\ \ \ \ \ \ \ \ $ campos vectoriales. El problema que encuentro aquí es que $ \require {enclose} \enclose {horizontalstrike}V$ es sólo una parametrización y yo no $\ \ \ \ \ \ \ \ $ saber si $ \require {enclose} \enclose {horizontalstrike}X$ es suave y necesito saber $ \require {enclose} \enclose {horizontalstrike}{ \nabla X(p)}$ para $ \require {enclose} \enclose {horizontalstrike}{p \in\mathbb {R}^3}$ para calcular la conexión $\ \ \ \ \ \ \ \ $ forma. Sólo calculando $ \mathbf N$ me ha otorgado una abominación inhumana de fórmulas que deseo $\ \ \ \ \ \ \ \ $ Nunca tuve que ver, así que ¿cómo podemos incluso (de una manera humana) encontrar $J$ ?

3. También necesito encontrar un campo vectorial tangente paralelo $Z$ que no sea cero y que sea distinto de $X$ . Esto funciona bien si sé más sobre $X$ de la pregunta anterior.

4. ¿Cuánto cuesta $Z$ rotar con respecto a $X$ cuando se mueve a lo largo de la curva $ \alpha : [0, 2 \pi ] \to T$ dado por $ \alpha (t) = \varphi (2t, 3t)$ ? Si estoy en lo cierto, esto debería ser calculado por $- \int_\alpha\omega = \gamma (b)- \gamma (a)$ donde $ \gamma $ es el ángulo entre $X( \alpha (t))$ y $Z(T)$ .

¡Se apreciaría cualquier ayuda!

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Actualizaciones

1. Creo que este está resuelto, ya que el $V$ se parece bastante a $(-y,x,0)$ pero luego se normalizó, así que $X(x,y,z)= \frac {1}{ \sqrt {x^2+y^2}}(-y,x,0)$ . Eso es: $ \mathbf X(x,y,z)= \left ((x,y,z), \frac {1}{ \sqrt {x^2+y^2}}(-y,x,0) \right )$ .

2. Definición : La conexión 1-forma $ \omega $ en $U$ asociado con $ \mathbf X$ se define por $ \omega ( \mathbf v) = (D_{ \mathbf v} \mathbf X) \cdot J \mathbf X(p) = ( \nabla_ { \mathbf v} \mathbf X) \cdot J \mathbf X(p)$ con $J \mathbf v= \mathbf N(p) \times \mathbf v$ con $ \mathbf N$ el campo vectorial de orientación en $T$ y $ \mathbf v=(p,v) \in T_p$ ( $T_p$ es el espacio tangente de $T$ en $p$ ). $J$ puede ser interpretado como una rotación en el espacio tangencial por $ \frac {1}{2} \pi $ .

3. Por lo que sé, los campos vectoriales paralelos sólo se definen a lo largo de una curva, así que creo que puedo elegir cualquier curva que quiera. En ese caso, elegimos el círculo para la mayor $z$ . Si no, por favor ayúdame a reinterpretar esto.

4. Necesito las partes anteriores para resolver esta. Además, tengo cero intuición con "rotación con respecto a", así que si puedes hacer que mis niveles de intuición exploten, por favor hazlo.

Answer 1

Voy a responder 1 y 2 yo mismo para la gente que está interesada.

1. Mantendremos el campo vectorial de la unidad tangente en $T$ parametrizado, así que en lugar de $ Y(x,y,z)= \frac {1}{ \sqrt {x^2+y^2}}(-y,x,0)$ usaremos la versión parametrizada $X( \theta , \phi )=Y \circ\varphi ( \theta , \phi )=(- \sin\theta , \cos\theta ,0)$ .

2. Ahora podemos encontrar el campo vectorial de orientación parametrizado $N( \theta , \phi )$ en $T$ tomando el producto cruzado de los derivados de $ \varphi ( \theta , \phi )$ y normalizándolo, ya que estos derivados se extienden por el espacio tangencial. Para facilitar los cálculos, tened en cuenta que $ \varphi_\theta \perp \varphi_\phi $ así que $\| \varphi_\theta\times\varphi_\phi\ |=\| \varphi_\theta\ |\| \varphi_\phi\ |$ así que \begin N( \theta , \phi )=&\ \frac { \varphi_\theta\times\varphi_\phi }{\| \varphi_\theta\times\varphi_\phi\ |}= \frac { \varphi_\theta }{\| \varphi_\theta\ |} \times\frac { \varphi_\phi }{\| \varphi_\phi\ |} \\ =&\ (- \sin\theta , \cos\theta ,0) \times (- \sin\phi\cos\theta ,- \sin\phi\sin\theta , \cos\phi ) \\ =&\ ( \cos\theta\cos\phi , \sin\theta\cos\phi , \sin\phi ) \end {alinear} Ahora podemos encontrar $JX( \theta , \phi )=N \times X( \theta , \phi )=(- \cos\theta\sin\phi ,- \sin\theta\sin\phi , \cos\phi )$ . Usando la agradable notación no-matriz, también tenemos $ \nabla X( \theta , \phi )=((- \cos\theta ,0),(- \sin\theta ,0),(0,0))$ . Ahora note que en el espacio tangencial, los campos vectoriales de coordenadas y las derivadas de $ \varphi $ de acuerdo, así que podemos usar el producto interno de $ \nabla X$ y $e_1=(1,0)$ , $e_2=(0,1)$ para obtener eso \begin {alinear} \omega (E_1)=&\ \nabla_ {e_1}X \cdot JX( \theta , \phi ) \\ =&(- \cos\theta ,- \sin\theta ,0) \cdot (- \cos\theta\sin\phi ,- \sin\theta\sin\phi , \cos\phi ) \\ =&\ \sin\phi \end {alinear} y \begin {alinear} \omega (E_2)=&\ \nabla_ {e_2}X \cdot JX( \theta , \phi ) \\ =&(0,0,0) \cdot (- \cos\theta\sin\phi ,- \sin\theta\sin\phi , \cos\phi ) \\ =&\ 0 \end {alinear}

¡Respuestas sobre 3 y 4 o respuestas que mejoren las mías son por supuesto aún bienvenidas!