¿Por qué los coeficientes de los términos en las secuencias basadas en $2$nd dígito binario de $2$nd poder, convergen a $\sqrt2$?
Actualización: Añadido al final del post una generalización para todas las otras bases,las facultades y los dígitos.
Empezar con $k=1$, generar las secuencias de $a_d(n)$ por:
- aumentar el$k$$1$, mire la representación binaria de $k^2$, tomar el segundo dígito
- repite el paso uno hasta que el dígito de las unidades es $\ne$ en comparación con el tomado previamente dígitos
a continuación, el número de dígitos que tomó es el nuevo elemento en la secuencia $a_d$ donde $d$ es el valor del dígito que se están tomando ($a_0$ o $a_1$)
repita el proceso para el próximo plazo, pero con el nuevo dígito, continuando con la $k$ usted a la izquierda con
La relación de dos términos consecutivos en ambas secuencias $a_0,a_1$ parece a converger a $\sqrt2$.
¿Por qué es este el caso? Podemos demostrar que realmente converge a $\sqrt2$ ?
¿Cómo podemos expresar este algoritmo/secuencias en las expresiones matemáticas?
En otras palabras, $a_0$ es el número de consecutivo $0$'s aparecen como el segundo dígito en representaciones binarias de los cuadrados de los números naturales, y $a_1$ es la misma cosa para $1$'s.
La calculada términos son los siguientes: (código de python en repl.es)
a_1 = 1, 1, 2, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 17, 25, 34, 49, 68, 97, 137, 194, 274, 388, 548, 776, 1097, 1552, 2195, 3104, 4390, 6208, 8780, 12417, 17560, 24834, 35120, 49668, 70241, 99336, 140482, 198672, 280965, 397344, 561930, 794689, 1123860, 1589379, 2247720, 3178757, 4495441, 6357514, 8990882, 12715028, 17981765, 25430057, 35963531, 50860114, 71927063,...
a_0 = 3, 1, 2, 2, 4, 5, 8, 10, 15, 20, 29, 40, 58, 81, 116, 162, 231, 325, 461, 651, 921, 1302, 1842, 2603, 3683, 5207, 7365, 10415, 14729, 20830, 29458, 41660, 58916, 83319, 117832, 166638, 235663, 333276, 471325, 666553, 942649, 1333106, 1885297, 2666212, 3770594, 5332424, 7541187, 10664849, 15082374, 21329697, 30164747, 42659393, 60329493, 85318786,...
Última calculada términos de arriba:
$$ \frac{a_1(54)}{a_1(53)}=\frac{71927063}{50860114}=1.414213562321\dots\approx\sqrt2=1.414213562373\dots$$
$$ \frac{a_0(54)}{a_0(53)}=\frac{85318786}{60329493}=1.414213542288\dots\approx\sqrt2=1.414213562373\dots$$
The first one seems to converge a bit faster. ($10$ decimal places vs $7$ decimal places for $n=54$)
How good are these fraction approximations?
Is there a closed form for these sequences?
Trying to find a recurrence relation:
One thing I've noticed in the successive ratios of the terms is that if we denote one as $\frac{a}{b}$, then the next one would always be $\frac{2b}{a}+c_n$, where $c_n$ is $\frac{-1}{a},\frac{1}{a}$ or $0$.
For $a_1$ I've observed values for $c_n$ in ratios in order: $c_n=$0,0,-,0,0,0,0,+,+,0,-,0,+,+,0,0,0,0,0,0,+,+,0,0,0,0,+,0,0,0,0,+,0,0,...
You can see the ratios between successive terms in $a_1$ below:
Where the left side is the ratio of $a_1(n)/a_1({n-1})$, and the right side are operations to reach the next term in the sequence, where c=1/a, if we represent the ratios as a/b;
1, ^-1,*2
2/1, ^-1,*2
2/2, ^-1,*2-c
3/2, ^-1,*2
4/3, ^-1,*2
6/4, ^-1,*2
8/6, ^-1,*2
12/8, ^-1,*2+c
17/12, ^-1,*2+c
25/17, ^-1,*2
34/25, ^-1,*2-c
49/34, ^-1,*2
68/49, ^-1,*2+c
97/68, ^-1,*2+c
137/97, ^-1,*2
194/137, ^-1,*2
274/194, ^-1,*2
388/274, ^-1,*2
548/388, ^-1,*2
776/548, ^-1,*2
1097/776, ^-1,*2+c
1552/1097, ^-1,*2+c
2195/1552, ^-1,*2
3104/2195, ^-1,*2
4390/3104, ^-1,*2
6208/4390, ^-1,*2
8780/6208, ^-1,*2+c
12417/8780, ^-1,*2
17560/12417, ^-1,*2
24834/17560, ^-1,*2
35120/24834, ^-1,*2
49668/35120, ^-1,*2+c
70241/49668, ^-1,*2
99336/70241, ^-1,*2
etc.
If we can somehow find the pattern for which terms we add or subtract $c$, we could define the ratio sequences with reversal of the fractions, multiplying by $2$, and adding $c$.
With the numerators/denominators of these ratio sequences, we could define $a_1$.
A similar $c_n\in\{-c,0,c\}$ sequence exist for $a_0$.
La generalización de
Considere el algoritmo anterior que genera secuencias de $a_d$.
Anteriormente, estábamos buscando el segundo dígito, $D=2$. Vamos a considerar cualquier $D\ge2$ dígitos.
Mirando potencias $P\in\mathbb N$, permite observar los números de $k^P$
También, considere la posibilidad de bases de $b\ge2$
Generar $a_d$ como se explicó anteriormente, la observación de la $D$ dígito en $k^P$ en base $b$:
Entonces, los coeficientes de los términos parecen converger para todas las secuencias de $d$ :
$$ \frac{a_d(n)}{a_d(n-(b-1)\cdot b^{D-2})}=\sqrt[P]{b}$$
As $n\to\infty$, for all $d$ secuencias, y todas las variables consideradas anteriormente.
Cómo puede esta observación se explica/probado ?
Tenga en cuenta que $P=1$ es trivial ya que las secuencias son de la forma $a_d=b^m$ donde $m$ cambios periódicamente.
Por ejemplo, la base de la $b=3$ de las secuencias de $P=1$, cuando se $D=2$ aspecto:
a_0 = 1, 1, 3, 3, 9, 9, 27, 27, 81, 81, 243, 243, 729, 729, 2187, 2187, 6561, 6561,...
a_1 = 1, 1, 3, 3, 9, 9, 27, 27, 81, 81, 243, 243, 729, 729, 2187, 2187, 6561, 6561,...
a_2 = 1, 1, 3, 3, 9, 9, 27, 27, 81, 81, 243, 243, 729, 729, 2187, 2187, 6561, 6561,...
Tenga en cuenta que el período es $(b-1)\cdot b^{D-2}$, que se encuentra en la relación de término anterior.
¿Cómo podemos calcular las secuencias de $a_d$ al $P\ge2$ algunos $D\ge2$ en algunos $b\ge2$?
