Respuesta a 1.
Supongamos $f:(\mathbb{Q}^{>0},\cdot)\to(\mathbb{Q},+)$ es una función inyectiva de satisfacciones $f(x\cdot y)=f(x)+f(y)$. A continuación, $f(1)=0$, y para cada $p\neq 1$, $f(p)\neq f(1)=0$. Para dos números primos $p,q$ tendríamos:
\begin{align*}
f(p)=\frac{m}{n}, f(q)=\frac{r}{s} &\Rightarrow n\cdot f(p)=m \text{ and } s\cdot f(q)=r \\
&\Rightarrow m\cdot r=r\cdot n\cdot f(p)=m\cdot s\cdot f(p)\\
&\Rightarrow f(p^{n\cdot r})=f(q^{m\cdot s})
\end{align*}
y desde $f$ es inyectiva esto significa $p^{nr}=q^{ms}$, lo cual es sólo posible si $r=s=0$, lo que implica la $f(p)=0$, absurdo.
Respuesta 2
Aviso que este tipo de función $f$ está completamente caracterizado por su valor en números primos, como para la de los números primos $p_1,\ldots,p_k,q_1,\ldots,q_\ell$ naturales y los números de $m_1,\ldots,m_k,n_1,\ldots,n_\ell$ tendremos
$$f\left(\dfrac{p_1^{m_1}\cdots p_{k}^{m_k}}{q_1^{n_1}\cdots q_\ell^{n_\ell}}\right)=\sum_{i=1}^k m_i\cdot f(p_i)-\sum_{j=1}^{\ell}n_j\cdot f(q_j).$$
Desde $(\mathbb{Q},+)$ es un grupo abelian, puede ser visto como un $\mathbb{Z}$-módulo, y podemos elegir una contables base de la $\{e_p:p\in\mathbb{P}\}$, indexados por el conjunto de los números primos. Podemos entonces definir un homomorphism $f:(\mathbb{Q}^{>0},\cdot)\to \langle e_n:n\in\mathbb{N}\rangle_\mathbb{Z}\cong (\mathbb{Q},+)$ poner, $$f\left(\dfrac{p_1^{m_1}\cdots p_{k}^{m_k}}{q_1^{n_1}\cdots q_\ell^{n_\ell}}\right)=\sum_{i=1}^k m_i\cdot e_{p_i}-\sum_{j=1}^{\ell}n_j\cdot e_{q_j}$$
Es fácil mostrar que $f$ define un homomorphism, y si $r\in\mathbb{Q}$ $r$ puede ser escrito como un entero combinación de un número finito de elementos $e_{p}$. Mediante la organización de los positivos y negativos de escalares por separado, obtenemos
$$r=m_{p_1}\cdot e_{p_1}+\cdots + m_{p_k}\cdot e_{p_k}-n_{q_1}\cdot e_{q_1}-\cdots-n_{q_\ell}\cdot e_{q_\ell}$$ y tendríamos
$$f\left(\dfrac{p_1^{m_1}\cdots p_{k}^{m_k}}{q_1^{n_1}\cdots q_\ell^{n_\ell}}\right)=\sum_{i=1}^k m_i\cdot e_{p_i}-\sum_{j=1}^{\ell}n_j\cdot e_{q_j}=r,$$
lo que muestra es surjective.
