Si la suma de las probabilidades de los sucesos es igual a la probabilidad de su unión, ¿implica eso que los sucesos son disjuntos?

Question

Axiomáticamente, la probabilidad es una función $P$ que asigna un número real $P(A)$ a cada evento $A$ si satisface los tres supuestos fundamentales (supuestos de Kolmogorov):

1. $P(A) \geq 0 \ \text{for every} A$
2. $P(\Omega) = 1$
3. $\text{If} \ A_1, A_2, \cdots \text{are disjoint, then}\\ P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right) = \sum\limits_{i=1}^{\infty}P(A_i)$

Mi pregunta es, en el último supuesto, ¿se supone lo contrario? Si demuestro que las probabilidades de un determinado número de sucesos se pueden sumar para obtener la probabilidad de su unión, ¿puedo utilizar directamente este axioma para afirmar que los sucesos son disjuntos?

Answer 1

No, pero puedes concluir que la probabilidad de cualquier evento compartido es cero.

Disjuntos significa que $A_i \cap A_j=\emptyset$ para cualquier $i\ne j$ . No puedes concluir eso, pero puedes concluir que $P(A_i \cap A_j)=0$ para todos $i\ne j$ . Cualquier elemento compartido debe tener probabilidad cero. Lo mismo ocurre con todas las intersecciones de orden superior.

En otras palabras, se puede decir, con probabilidad 1, que ninguno de los conjuntos puede ocurrir juntos. He visto que tales conjuntos se llaman casi disjuntos o casi seguramente disjuntos pero esa terminología no es estándar, creo.

Answer 2

En realidad no, por ejemplo, considere la distribución uniforme.

Dejemos que $A_1 = [0,0.5) \cup (\mathbb{Q} \cap [0,1])$ y $A_2=[0.5,1] \cup (\mathbb{Q} \cap [0,1])$ y $A_i =\emptyset$ para $i>2$ .

$P(A_1)=0.5$ y $P(A_2)=0.5$ y suman $1$ pero no son disjuntos. $A_1 \cap A_2 \neq \emptyset$ .

Todavía pueden intersecarse con la medida de probabilidad $0$ .