Esto se desprende de una medida positiva de la versión del teorema de Darboux - ver @Hyperplane la pregunta de Cómo irregular puede $f'$ ser más allá del Teorema de Darboux?
Por otra parte, el argumento se aplica literal sin el $L^1_{loc}$ restricción de uso de la Henstock-Kurzweil integral. Para esta integral, la FTC tiene para cualquier función derivable, no es afectado por los conjuntos de medida cero, y la integral de una en una.e. positiva, la función es estrictamente creciente.
He aquí otra prueba de que evita la Henstock-Kurzweil integral. Primero, nota que es suficiente para mostrar débil monotonía, $f(b)\geq f(a)$ todos los $b>a$ - nos, a continuación, sólo tiene la igualdad si la función es constante en $[a,b],$, lo que daría un derivado de cero.
Aplicar la Vitali-teorema de Carathéodory para obtener una superior semicontinuo función de $g:[a,b]\to\mathbb R$ satisfacción $g(x)\leq \min(0,f'(x))$ todos los $x\in[a,b]$ $\int_a^b g(t)dt\geq -\epsilon.$ Definir $h(x)=f(x)-\int_{a}^x g(t)dt+(x-a)\epsilon.$ Usando la parte superior del semicontinuity, $\limsup_{y\to x}\frac{1}{y-x}\int_x^y g(t)dt\leq g(x).$ obtenemos $\liminf_{\substack{y\to x\\ y\in[a,b]}}\frac{h(y)-h(x)}{y-x}\geq f'(x)-g(x)+\epsilon\geq \epsilon$ todos los $x\in [a,b].$ Se sigue que $h(b)\geq h(a)$: considerar la infimal $x$ tal que $h(x)<h(a)$; debe satisfacer $h(x)=h(a),$ pero desde la parte inferior (lim inf) derivados son positivos, debemos tener $h(y)>h(a)$ suficientemente pequeño $y-x>0.$ Esto da $f(b)\geq f(a)-\epsilon(1+b-a),$ y desde $\epsilon$ fue arbitraria, $f(b)\geq f(a).$
