Problema de límite: $\lim_{t\to1} \frac {\sqrt {2t^2-1}\sqrt[3]{4t^3-3t}-1}{t^2-1}$

Question

Actualización:

$$\lim_{t\to1} \frac {\sqrt {2t^2-1}\sqrt[3]{4t^3-3t}-1}{t^2-1}$$

Primero de todo, estoy agradecido por todas las respuestas que me han dado.

Quiero preguntar MSE para confirmar la corrección de la alternativa de solución y su error.

He trabajado tan duro para resolver este límite sin L'Hôpital. Traté de resolver este límite mí mismo. Porque, me gusta. Y confío MSE. Porque, MSE es siempre el verdadero maestro para mí. Por favor, enséñame., mis errores.

$$\begin{align}&\lim_{t \to 1}\frac {\sqrt{2t^2-1}×\sqrt[3]{4t^3-3t}-1}{t^2-1}\\\\&=\lim_{t \to 1} \frac {\sqrt[3]{4t^3-3t}-\frac{1}{\sqrt{2t^2-1}}}{\frac{t^2-1}{\sqrt{2t^2-1}}}\\\\&=\lim_{t \to 1}\frac{4t(t^2-1)+t-\frac{1}{(2t^2-1)×\sqrt{2t^2-1}}}{(t^2-1)×\left[ \frac{\sqrt[3]{(4t^3-3t)^2}}{\sqrt{2t^2-1}}+\frac{\sqrt[3]{4t^3-3t}}{2t^2-1}+\frac{1}{(2t^2-1)×\sqrt{2t^2-1}}\right]}\\\\&=\lim_{t \to 1}\frac{4t+\frac{t(2t^2-1)×\sqrt{2t^2-1}-1}{(2t^2-1)×\sqrt{2t^2-1}×(t^2-1)}}{\left[ \frac{\sqrt[3]{(4t^3-3t)^2}}{\sqrt{2t^2-1}}+\frac{\sqrt[3]{4t^3-3t}}{2t^2-1}+\frac{1}{(2t^2-1)×\sqrt{2t^2-1}}\right]}\\\\&=\lim_{t \to 1}\frac{4t}{\left[ \frac{\sqrt[3]{(4t^3-3t)^2}}{\sqrt{2t^2-1}}+\frac{\sqrt[3]{4t^3-3t}}{2t^2-1}+\frac{1}{(2t^2-1)×\sqrt{2t^2-1}}\right] }\\\\&\qquad\qquad+\lim_{t \to 1}\frac{\frac{t(2t^2-1)×\sqrt{2t^2-1}-1}{(2t^2-1)×\sqrt{2t^2-1}×(t^2-1)}}{\left[ \frac{\sqrt[3]{(4t^3-3t)^2}}{\sqrt{2t^2-1}}+\frac{\sqrt[3]{4t^3-3t}}{2t^2-1}+\frac{1}{(2t^2-1)×\sqrt{2t^2-1}}\right] }\\\\&= \frac{4}{3}+\frac{1}{3}\lim_{t \to 1}\frac{t(2t^2-2)×\sqrt{2t^2-1}+t×\sqrt{2t^2-1}-1}{(t^2-1)×(2t^2-1)×\sqrt{2t^2-1}}\\\\&=\frac{4}{3}+\frac 13\lim_{t \to 1}\frac{2t}{2t^2-1}+\frac 13\lim_{t \to 1}\frac{t×\sqrt{2t^2-1}-1}{(t^2-1)(2t^2-1)\sqrt{2t^2-1}}\\\\&=\frac{4}{3}+\frac 23+\frac 13\lim_{t \to 1}\frac{2t^4-t^2-1}{(t^2-1)(2t^2-1)\sqrt{2t^2-1}×(\sqrt{2t^4-t^2}+1)}\\\\&=2+\frac 13 \lim_{t \to 1}\frac{(t^2-1)(2t^2+1)}{(t^2-1)(2t^2-1)\sqrt{2t^2-1}×(\sqrt{2t^4-t^2}+1)}\\\\&=2+\frac 13 \lim_{t \to 1}\frac{(2t^2+1)}{(2t^2-1)\sqrt{2t^2-1}×(\sqrt{2t^4-t^2}+1)}\\\\&=2+\frac 13×\frac{3}{2}=2+\frac 12=\frac 52.\end{align}$$

Dudo que me han aplicado correctamente las reglas sobre el límite. ¿Puedo aplicar todas las reglas sobre el límite correctamente y de que es la solución correcta..?

Gracias!

Answer 1

$$=\frac{\sqrt{2t^2-1}-1}{t^2-1}\sqrt[3]{4t^3-3t}+\frac{\sqrt[3]{4t^3-3t}-1}{t^2-1}$ $ Ahora multiplique por conjugados y obtienes la respuesta correcta.

En cuanto a la segunda parte es posible que el otro valor de $t$ da el mismo valor que el límite a 1.

Answer 2

Elegante, no sé, pero una posible solución.

Que $t=x+1$ que la expresión que $$A=\frac{\sqrt{2 x^2+4 x+1} \sqrt[3]{4 x^3+12 x^2+9 x+1}-1}{x (x+2)}$$ Now, using Taylor around $x = 0$ o expansión binomial $$\sqrt{2 x^2+4 x+1}=1+2 x-x^2+2 x^3+O\left(x^4\right)$ $ $$ \sqrt[3]{4 x^3+12 x^2+9 x+1}=1+3 x-5 x^2+\frac{67 }{3}x^3+O\left(x^4\right)$ $ $$\sqrt{2 x^2+4 x+1} \sqrt[3]{4 x^3+12 x^2+9 x+1}=1+5 x+\frac{34 x^3}{3}+O\left(x^4\right)$ $ hacer $ el $$A=\frac{5}{2}-\frac{5 }{4}x+O\left(x^2\right)$

¿En cuanto a lo segundo, sugiero que trama de la función thr $-1 \leq t \leq 2$? Debe entender por qué este número.

Answer 3

Usted hizo un trabajo duro, pero debe ser mejor añadir algunas justificaciones cuando se utiliza $$\lim_{t\to 1}(f(t)+g(t))=\lim_{t\to 1}f(t)+\lim_{t\to 1}g(t)\tag1$$ $$\lim_{t\to 1}f(t)g(t)=\lim_{t\to 1}f(t)\lim_{t\to 1}g(t)\tag2$$ ya que estos no siempre se cumple.

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$$\begin{align}\lim_{t \to 1}\frac {\sqrt{2t^2-1}×\sqrt[3]{4t^3-3t}-1}{t^2-1}&=\lim_{t \to 1} \frac {\sqrt[3]{4t^3-3t}-\frac{1}{\sqrt{2t^2-1}}}{\frac{t^2-1}{\sqrt{2t^2-1}}}\\\\&=\lim_{t \to 1}\frac{4t(t^2-1)+t-\frac{1}{(2t^2-1)×\sqrt{2t^2-1}}}{(t^2-1)×\left[ \frac{\sqrt[3]{(4t^3-3t)^2}}{\sqrt{2t^2-1}}+\frac{\sqrt[3]{4t^3-3t}}{2t^2-1}+\frac{1}{(2t^2-1)×\sqrt{2t^2-1}}\right]}\\\\&=\lim_{t \to 1}\frac{4t+\frac{t(2t^2-1)×\sqrt{2t^2-1}-1}{(2t^2-1)×\sqrt{2t^2-1}×(t^2-1)}}{\left[ \frac{\sqrt[3]{(4t^3-3t)^2}}{\sqrt{2t^2-1}}+\frac{\sqrt[3]{4t^3-3t}}{2t^2-1}+\frac{1}{(2t^2-1)×\sqrt{2t^2-1}}\right]}\end{align}$$

Este es correcta. (Parece que utilizó $a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$)

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$$\begin{align}&\lim_{t \to 1}\frac{4t+\frac{t(2t^2-1)×\sqrt{2t^2-1}-1}{(2t^2-1)×\sqrt{2t^2-1}×(t^2-1)}}{\left[ \frac{\sqrt[3]{(4t^3-3t)^2}}{\sqrt{2t^2-1}}+\frac{\sqrt[3]{4t^3-3t}}{2t^2-1}+\frac{1}{(2t^2-1)×\sqrt{2t^2-1}}\right]}\\\\&=\lim_{t \to 1}\frac{4t}{\left[ \frac{\sqrt[3]{(4t^3-3t)^2}}{\sqrt{2t^2-1}}+\frac{\sqrt[3]{4t^3-3t}}{2t^2-1}+\frac{1}{(2t^2-1)×\sqrt{2t^2-1}}\right]}\\\\&\qquad\qquad\quad+\lim_{t \to 1}\frac{\frac{t(2t^2-1)×\sqrt{2t^2-1}-1}{(2t^2-1)×\sqrt{2t^2-1}×(t^2-1)}}{\left[ \frac{\sqrt[3]{(4t^3-3t)^2}}{\sqrt{2t^2-1}}+\frac{\sqrt[3]{4t^3-3t}}{2t^2-1}+\frac{1}{(2t^2-1)×\sqrt{2t^2-1}}\right]}\\\\&=\frac{4}{3}+\frac{1}{3}\lim_{t \to 1}\frac{t(2t^2-2)×\sqrt{2t^2-1}+t×\sqrt{2t^2-1}-1}{(t^2-1)×(2t^2-1)×\sqrt{2t^2-1}}\end{align}$$

Esto es correcto, pero debe ser mejor añadir algunas explicaciones acerca de por qué usted puede utilizar $(1)(2)$ aquí. Creo que el uso de $(1)(2)$ sin ningún tipo de justificaciones no es bueno.

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Usted puede evitar el uso de $(1)(2)$.

El uso de la manipulación, tenemos

$$\begin{align}&\lim_{t \to 1}\frac{4t+\frac{t(2t^2-1)×\sqrt{2t^2-1}-1}{(2t^2-1)×\sqrt{2t^2-1}×(t^2-1)}}{\left[ \frac{\sqrt[3]{(4t^3-3t)^2}}{\sqrt{2t^2-1}}+\frac{\sqrt[3]{4t^3-3t}}{2t^2-1}+\frac{1}{(2t^2-1)×\sqrt{2t^2-1}}\right]}\\\\&=\lim_{t \to 1}\frac{4t+\frac{t(2t^2-2)×\sqrt{2t^2-1}+t×\sqrt{2t^2-1}-1}{(t^2-1)×(2t^2-1)×\sqrt{2t^2-1}}}{\left[ \frac{\sqrt[3]{(4t^3-3t)^2}}{\sqrt{2t^2-1}}+\frac{\sqrt[3]{4t^3-3t}}{2t^2-1}+\frac{1}{(2t^2-1)×\sqrt{2t^2-1}}\right]}\\\\&=\lim_{t \to 1}\frac{4t+\frac{2t}{2t^2-1}+\frac{t×\sqrt{2t^2-1}-1}{(t^2-1)(2t^2-1)\sqrt{2t^2-1}}}{\left[ \frac{\sqrt[3]{(4t^3-3t)^2}}{\sqrt{2t^2-1}}+\frac{\sqrt[3]{4t^3-3t}}{2t^2-1}+\frac{1}{(2t^2-1)×\sqrt{2t^2-1}}\right]}\\\\&=\lim_{t \to 1}\frac{4t+\frac{2t}{2t^2-1}+\frac{2t^4-t^2-1}{(t^2-1)(2t^2-1)\sqrt{2t^2-1}×(\sqrt{2t^4-t^2}+1)}}{\left[ \frac{\sqrt[3]{(4t^3-3t)^2}}{\sqrt{2t^2-1}}+\frac{\sqrt[3]{4t^3-3t}}{2t^2-1}+\frac{1}{(2t^2-1)×\sqrt{2t^2-1}}\right]}\\\\&=\lim_{t \to 1}\frac{4t+\frac{2t}{2t^2-1}+\frac{(t^2-1)(2t^2+1)}{(t^2-1)(2t^2-1)\sqrt{2t^2-1}×(\sqrt{2t^4-t^2}+1)}}{\left[ \frac{\sqrt[3]{(4t^3-3t)^2}}{\sqrt{2t^2-1}}+\frac{\sqrt[3]{4t^3-3t}}{2t^2-1}+\frac{1}{(2t^2-1)×\sqrt{2t^2-1}}\right]}\\\\&=\lim_{t \to 1}\frac{4t+\frac{2t}{2t^2-1}+\frac{(2t^2+1)}{(2t^2-1)\sqrt{2t^2-1}×(\sqrt{2t^4-t^2}+1)}}{\left[ \frac{\sqrt[3]{(4t^3-3t)^2}}{\sqrt{2t^2-1}}+\frac{\sqrt[3]{4t^3-3t}}{2t^2-1}+\frac{1}{(2t^2-1)×\sqrt{2t^2-1}}\right]}\\\\&=\frac{4+2+\frac 32}{1+1+1}=\frac 52\end{align}$$

Answer 4

Las expresiones sugieren ajuste $t = \cos x$. El límite se transforma en

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1-\sqrt{\cos 2x } \sqrt [3] {\cos 3x }}{\sin^2 x} = \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1-\sqrt{\cos 2x} +\sqrt{\cos 2x} - \sqrt{\cos 2x } \sqrt [3] {\cos 3x }}{\sin^2 x}$

Ahora, $\dfrac{1-\sqrt{\cos 2x}}{\sin^2 x} = \dfrac{1-\cos 2x}{\sin^2 x (1+\sqrt{\cos 2x})} = \dfrac{2}{1+\sqrt{\cos 2x}} \rightarrow 1$ $x \rightarrow 0$

y $\dfrac{\sqrt{\cos 2x} - \sqrt{\cos 2x } \sqrt [3] {\cos 3x }}{\sin^2 x} = \dfrac{\sqrt{\cos 2x} \left(1-\sqrt [3] {\cos 3x } \right)}{\sin^2 x}$

$=\dfrac{\sqrt{\cos 2x} \left(1-\cos 3x \right)}{\sin^2 x \left(1+\sqrt [3] {\cos 3x }+ \left(\sqrt [3] {\cos 3x } \right)^2 \right)}$

$=\dfrac{2 \sqrt{\cos 2x} \sin^2 \dfrac{3x}{2} }{\sin^2 x \left(1+\sqrt [3] {\cos 3x }+ \left(\sqrt [3] {\cos 3x } \right)^2 \right)}$

$=\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1-\cos 2x \cos 3x }{\sin^2 x (1+\sqrt{\cos 2x \cos 3x })} \rightarrow \dfrac{3}{2}$ $x \rightarrow 0$

Por lo tanto, el límite es igual a $1+\dfrac{3}{2} = \dfrac{5}{2} $

Answer 5

El uso de la igualdad de $$ x-1=\frac{x^6-1}{1+x+x^2+x^3+x^4+x^5}, $$ obtenemos (utilizando Wolfram Alpha para ampliar y, a continuación, dividir) \begin{align} \frac{\sqrt {2t^2-1}\sqrt[3]{4t^3-3t}-1}{t^2-1}&=\frac {({2t^2-1})^3({4t^3-3t})^2-1}{(t^2-1)\sum_{k=0}^5( {2t^2-1})^{k/2}({4t^3-3t})^{k/3}}\\ \ \\ &=\frac{-1 - 9 t^2 + 78 t^4 - 268 t^6 + 456 t^8 - 384 t^{10} + 128 t^{12}}{(t^2-1)\sum_{k=0}^5( {2t^2-1})^{k/2}({4t^3-3t})^{k/3}}\\ \ \\ &=\frac{1 + 10 t^2 - 68 t^4 + 200 t^6 - 256 t^8 + 128 t^{10}}{\sum_{k=0}^5( {2t^2-1})^{k/2}({4t^3-3t})^{k/3}}\\ \ \\ \end{align} Para $t=1$ tenemos $$ \frac{1 +10-68+200-256+128}{(1+1+1+1+1+1)}=\frac{15}{6}=\frac52. $$